Радиус основания цилиндра равен 6 см, а диагональ его осевого сечения образует с плоскостью основания...

Для нахождения высоты цилиндра воспользуемся свойствами основания цилиндра и условием задачи.

Известно, что диагональ осевого сечения цилиндра образует с плоскостью основания угол 60 градусов. Поскольку диагональ - это гипотенуза треугольника, образованного основанием цилиндра и плоскостью основания, то у нас имеем равнобедренный треугольник. Угол при основании такого треугольника будет равен 60/2 = 30 градусов.

Теперь можем построить прямоугольный треугольник, в который входят радиус основания цилиндра, половина диагонали осевого сечения (половина гипотенузы) и высота цилиндра. Угол при основании этого треугольника равен 30 градусов.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, где AB - радиус цилиндра (6 см), BC - половина диагонали осевого сечения, а AC - высота цилиндра. Так как угол при основании треугольника равен 30 градусов, то мы можем использовать тригонометрические функции.

Известно, что tg(30) = AC / AB. Подставляем значения и находим высоту цилиндра: tg(30) = AC / 6 1/√3 = AC / 6 AC = 6 / √3 AC = 2√3 см

Таким образом, высота цилиндра равна 2√3 см.

Чтобы найти высоту цилиндра, давайте рассмотрим осевое сечение, которое представляет собой прямоугольник. В этом прямоугольнике одна сторона равна высоте цилиндра ( h ), другая — диаметру основания ( 2r ), а диагональ — это гипотенуза прямоугольного треугольника.

Дано:

• Радиус основания цилиндра ( r = 6 ) см, значит, диаметр основания ( 2r = 12 ) см.
• Угол между диагональю осевого сечения и плоскостью основания ( \alpha = 60^\circ ).

Диагональ осевого сечения цилиндра можно выразить через теорему Пифагора как гипотенузу треугольника с катетами ( h ) и ( 2r ). Обозначим диагональ как ( d ).

Итак, по теореме Пифагора: [ d^2 = h^2 + (2r)^2. ]

Поскольку диагональ образует угол ( 60^\circ ) с плоскостью основания, можно использовать тригонометрическую функцию косинуса: [ \cos(60^\circ) = \frac{2r}{d}. ]

Подставим значение косинуса: [ \cos(60^\circ) = \frac{1}{2}. ]

Таким образом, у нас получается уравнение: [ \frac{2r}{d} = \frac{1}{2}. ]

Отсюда следует: [ d = 4r. ]

Теперь подставим ( d = 4r ) в уравнение, полученное из теоремы Пифагора: [ (4r)^2 = h^2 + (2r)^2. ]

Подставим значение радиуса ( r = 6 ) см: [ (4 \times 6)^2 = h^2 + (2 \times 6)^2, ] [ 24^2 = h^2 + 12^2, ] [ 576 = h^2 + 144. ]

Теперь решим это уравнение для ( h^2 ): [ h^2 = 576 - 144, ] [ h^2 = 432. ]

Найдем ( h ) извлекая квадратный корень: [ h = \sqrt{432}. ]

Упростим: [ h = \sqrt{144 \times 3} = \sqrt{144} \times \sqrt{3} = 12\sqrt{3}. ]

Таким образом, высота цилиндра равна ( 12\sqrt{3} ) см.