При передаче сообщения вероятность искажения одного знака равна 0,1. Найти вероятность того, что сообщение...

Для решения этой задачи мы можем использовать биномиальное распределение.

а) Вероятность того, что сообщение из 10 знаков не будет искажено, равна (0,9)^10 = 0,3487.

б) Чтобы найти вероятность того, что сообщение содержит три искажения, мы можем воспользоваться формулой биномиального распределения: P(X=k) = C(n, k) p^k (1-p)^(n-k), где n = 10, k = 3, p = 0,1. P(X=3) = C(10, 3) (0,1)^3 (0,9)^7 = 0,0574.

в) Для нахождения вероятности того, что сообщение содержит не более трех искажений, нужно сложить вероятности того, что сообщение содержит 0, 1, 2 или 3 искажения: P(X

Для решения задачи о вероятности искажения знаков при передаче сообщения, воспользуемся биномиальным распределением. В данном случае:

• ( n = 10 ) — количество знаков в сообщении.
• ( p = 0.1 ) — вероятность искажения одного знака.
• ( q = 1 - p = 0.9 ) — вероятность того, что один знак не будет искажен.

Формула биномиального распределения для вычисления вероятности того, что ровно ( k ) знаков будут искажены, выглядит так:

[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k} ]

где ( \binom{n}{k} ) — биномиальный коэффициент, который вычисляется как:

[ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} ]

Теперь разберем каждый из пунктов.

а) Вероятность того, что сообщение не будет искажено

Для этого случая ( k = 0 ):

[ P(X = 0) = \binom{10}{0} (0.1)^0 (0.9)^{10} ]

Поскольку (\binom{10}{0} = 1) и ( (0.1)^0 = 1 ), то:

[ P(X = 0) = 1 \cdot 1 \cdot (0.9)^{10} ]

Вычислим ( (0.9)^{10} ):

[ (0.9)^{10} \approx 0.3487 ]

Таким образом:

[ P(X = 0) \approx 0.3487 ]

б) Вероятность того, что сообщение содержит три искажения

Для этого случая ( k = 3 ):

[ P(X = 3) = \binom{10}{3} (0.1)^3 (0.9)^7 ]

Вычислим биномиальный коэффициент (\binom{10}{3}):

[ \binom{10}{3} = \frac{10!}{3!7!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120 ]

Теперь вычислим ( (0.1)^3 ) и ( (0.9)^7 ):

[ (0.1)^3 = 0.001 ] [ (0.9)^7 \approx 0.4783 ]

Подставим все значения в формулу:

[ P(X = 3) = 120 \cdot 0.001 \cdot 0.4783 \approx 0.0574 ]

в) Вероятность того, что сообщение содержит не более трех искажений

Для этого случая нужно найти сумму вероятностей для ( k = 0, 1, 2, 3 ):

[ P(X \leq 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) ]

Мы уже нашли ( P(X = 0) ) и ( P(X = 3) ). Теперь найдем ( P(X = 1) ) и ( P(X = 2) ).

Для ( k = 1 ):

[ P(X = 1) = \binom{10}{1} (0.1)^1 (0.9)^9 ]

[ \binom{10}{1} = 10 ] [ (0.1)^1 = 0.1 ] [ (0.9)^9 \approx 0.3874 ]

[ P(X = 1) = 10 \cdot 0.1 \cdot 0.3874 \approx 0.3874 ]

Для ( k = 2 ):

[ P(X = 2) = \binom{10}{2} (0.1)^2 (0.9)^8 ]

[ \binom{10}{2} = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45 ] [ (0.1)^2 = 0.01 ] [ (0.9)^8 \approx 0.4305 ]

[ P(X = 2) = 45 \cdot 0.01 \cdot 0.4305 \approx 0.1937 ]

Теперь сложим все вероятности:

[ P(X \leq 3) \approx 0.3487 + 0.3874 + 0.1937 + 0.0574 \approx 0.9872 ]

Таким образом, ответы на поставленные вопросы следующие:

а) Вероятность того, что сообщение не будет искажено, приблизительно равна ( 0.3487 ).

б) Вероятность того, что сообщение содержит три искажения, приблизительно равна ( 0.0574 ).

в) Вероятность того, что сообщение содержит не более трех искажений, приблизительно равна ( 0.9872 ).