При каких значениях α прямые αх-2у-1=0 и 6х-4у-3=0 имеют одну общую точку

Чтобы найти значения (\alpha), при которых прямые (\alpha x - 2y - 1 = 0) и (6x - 4y - 3 = 0) имеют одну общую точку (то есть пересекаются), необходимо определить условия, при которых они не параллельны.

Для этого рассмотрим угловые коэффициенты прямых. Прямую можно записать в виде (y = kx + b), где (k) — это угловой коэффициент.

1. Для первой прямой (\alpha x - 2y - 1 = 0):

   Перепишем в виде (y = \frac{\alpha}{2}x - \frac{1}{2}). Здесь угловой коэффициент (k_1 = \frac{\alpha}{2}).

2. Для второй прямой (6x - 4y - 3 = 0):

   Перепишем в виде (y = \frac{3}{2}x - \frac{3}{4}). Здесь угловой коэффициент (k_2 = \frac{3}{2}).

Прямые пересекаются, если их угловые коэффициенты не равны, то есть:

[ \frac{\alpha}{2} \neq \frac{3}{2} ]

Решим это неравенство:

[ \alpha \neq 3 ]

Таким образом, прямые (\alpha x - 2y - 1 = 0) и (6x - 4y - 3 = 0) имеют одну общую точку при всех значениях (\alpha), кроме (\alpha = 3).

Теперь проверим случай, когда (\alpha = 3). Если (\alpha = 3), то уравнения прямых становятся:

1. (3x - 2y - 1 = 0)
2. (6x - 4y - 3 = 0)

Заметим, что второе уравнение можно получить из первого умножением на 2:

(2(3x - 2y - 1) = 6x - 4y - 2)

Поскольку свободные члены (-2) и (-3) не равны, прямые в этом случае параллельны и не пересекаются.

Следовательно, при (\alpha = 3) прямые параллельны и не имеют общих точек. Для всех других значений (\alpha), прямые пересекаются.

Для того чтобы прямые имели одну общую точку, необходимо и достаточно, чтобы система уравнений, составленная из уравнений прямых, имела единственное решение.

Сначала выразим у из первого уравнения: у = αх - 1/2

Подставим это выражение во второе уравнение: 6х - 4(αх - 1/2) - 3 = 0 6х - 4αх + 2 - 3 = 0 6х - 4αх - 1 = 0

Теперь рассмотрим систему уравнений: { αх - 2у - 1 = 0 { 6х - 4αх - 1 = 0

Решим данную систему уравнений. Для этого выразим х из первого уравнения и подставим его во второе уравнение: х = (2у + 1) / α 6(2у + 1) / α - 4(2у + 1) - 1 = 0 12у + 6 - 8у - 4 - 1 = 0 4у + 1 = 0 4у = -1 у = -1/4

Теперь найдем значение х, подставив у = -1/4 в одно из уравнений: х = (2*(-1/4) + 1) / α х = (-1/2 + 1) / α х = 1/2 / α х = 1 / (2α)

Таким образом, прямые имеют одну общую точку при значениях α, при которых x = 1 / (2α) и y = -1/4.

Прямые имеют одну общую точку при α = 3.