Прямоугольный треугольник с катетами 5 см и 12 см вращается вокруг меньшего катета. Найдите площадь...

Для начала найдем гипотенузу прямоугольного треугольника с катетами 5 см и 12 см, используя теорему Пифагора: гипотенуза^2 = катет1^2 + катет2^2 гипотенуза^2 = 5^2 + 12^2 гипотенуза^2 = 25 + 144 гипотенуза^2 = 169 гипотенуза = 13 см

Теперь найдем площадь поверхности, которая получится при вращении треугольника вокруг меньшего катета. Это будет боковая поверхность цилиндра с радиусом, равным меньшему катету (5 см), и высотой, равной гипотенузе (13 см): S = 2πrh S = 2 π 5 * 13 S = 130π см^2

Наконец, найдем объем полученного тела, которое также будет цилиндром: V = πr^2h V = π 5^2 13 V = 325π см^3

Таким образом, площадь поверхности полученного тела равна 130π квадратных сантиметров, а объем равен 325π кубических сантиметров.

При вращении прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов, получается фигура, называемая конусом.

Дан прямоугольный треугольник с катетами 5 см и 12 см. В данном случае, треугольник вращается вокруг меньшего катета, то есть вокруг катета длиной 5 см. В результате получается конус с высотой 5 см и радиусом основания 12 см.

1. Объем конуса

Формула для объема конуса:

[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h ]

где:

• ( r = 12 ) см — радиус основания,
• ( h = 5 ) см — высота конуса.

Подставим значения в формулу:

[ V = \frac{1}{3} \pi (12)^2 (5) = \frac{1}{3} \pi \times 144 \times 5 = \frac{720}{3} \pi = 240 \pi \text{ куб. см} ]

2. Площадь поверхности конуса

Площадь поверхности конуса состоит из площади боковой поверхности и площади основания.

Площадь основания

Площадь основания конуса (круг):

[ A_{\text{основание}} = \pi r^2 = \pi (12)^2 = 144 \pi \text{ кв. см} ]

Площадь боковой поверхности

Формула для площади боковой поверхности:

[ A_{\text{боковая}} = \pi r l ]

где ( l ) — образующая конуса, которую можно найти по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике (гипотенуза треугольника является образующей конуса):

[ l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13 \text{ см} ]

Теперь найдём площадь боковой поверхности:

[ A_{\text{боковая}} = \pi \times 12 \times 13 = 156 \pi \text{ кв. см} ]

Общая площадь поверхности конуса

[ A{\text{общая}} = A{\text{основание}} + A_{\text{боковая}} = 144 \pi + 156 \pi = 300 \pi \text{ кв. см} ]

Ответ

• Объем конуса: ( 240 \pi ) куб. см
• Площадь поверхности конуса: ( 300 \pi ) кв. см