Прямоугольный треугольник с гипотенузой равной c и острым углом α, вращается вокруг гипотенузы. Вычислить...

Для нахождения объема тела вращения прямоугольного треугольника вокруг гипотенузы необходимо воспользоваться формулой объема тела вращения, которая выглядит следующим образом:

V = π * ∫[a, b] y^2 dx

где:

• V - объем тела вращения
• π - число Пи
• a, b - пределы интегрирования по оси x
• y - функция, задающая высоту фигуры в зависимости от x

Для нашего случая прямоугольного треугольника с гипотенузой c и острым углом α, можно заметить, что при вращении вокруг гипотенузы мы получаем полуцилиндр. Поэтому формула объема тела вращения упрощается до:

V = π c^2 (c * sin(α))^2 / 4

V = π c^4 sin^2(α) / 4

Таким образом, объем тела вращения прямоугольного треугольника с гипотенузой c и острым углом α вокруг гипотенузы равен π c^4 sin^2(α) / 4.

Чтобы вычислить объем тела вращения, полученного при вращении прямоугольного треугольника вокруг его гипотенузы, можно воспользоваться методом интегрирования.

Давайте сначала обозначим элементы треугольника. Пусть ( a ) и ( b ) — катеты треугольника, ( c ) — гипотенуза, и ( \alpha ) — один из острых углов. Согласно тригонометрическим соотношениям в прямоугольном треугольнике, мы имеем:

[ a = c \cdot \cos(\alpha) ] [ b = c \cdot \sin(\alpha) ]

Вращение прямоугольного треугольника вокруг гипотенузы создаст конус. Для вычисления объема этого конуса, нам нужно знать радиус основания и высоту.

1. Радиус основания конуса: Это будет высота треугольника, опущенная из прямого угла на гипотенузу. Высота ( h ) находится по формуле:

[ h = \frac{a \cdot b}{c} = \frac{(c \cdot \cos(\alpha)) \cdot (c \cdot \sin(\alpha))}{c} = c \cdot \cos(\alpha) \cdot \sin(\alpha) ]

1. Высота конуса: Она равна длине отрезка гипотенузы, так как это и есть ось вращения. То есть высота ( H ) равна ( c ).

Теперь объем конуса ( V ) можно найти по формуле объема конуса:

[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 H ]

Подставим наши значения:

[ r = c \cdot \cos(\alpha) \cdot \sin(\alpha) ] [ H = c ]

Следовательно, объем ( V ) будет:

[ V = \frac{1}{3} \pi (c \cdot \cos(\alpha) \cdot \sin(\alpha))^2 \cdot c ]

[ V = \frac{1}{3} \pi c^3 \cdot \cos^2(\alpha) \cdot \sin^2(\alpha) ]

Используя тригонометрическое тождество для удвоенного угла, ( \sin(2\alpha) = 2 \cdot \sin(\alpha) \cdot \cos(\alpha) ), можем упростить выражение:

[ \cos^2(\alpha) \cdot \sin^2(\alpha) = \left(\frac{\sin(2\alpha)}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} \sin^2(2\alpha) ]

Таким образом, объем тела вращения:

[ V = \frac{1}{3} \pi c^3 \cdot \frac{1}{4} \sin^2(2\alpha) ]

[ V = \frac{\pi c^3}{12} \sin^2(2\alpha) ]

Это окончательный результат для объема тела, полученного при вращении прямоугольного треугольника вокруг гипотенузы.