Постройте график функции y= |x|x- |x|-6x

График функции y = |x|x - |x| - 6x представляет собой кусочно-линейную функцию.

Для построения графика функции y = |x|x - |x| - 6x необходимо разбить функцию на несколько частей и рассмотреть их отдельно.

1. Для x ≤ -1: y = (-x)(-x) - (-x) - 6x = x^2 + x - 6x = x^2 - 5x
2. Для -1 ≤ x ≤ 0: y = (-x)x - (-x) - 6x = -x^2 + x - 6x = -x^2 - 5x
3. Для 0 ≤ x ≤ 1: y = (x)x - x - 6x = x^2 - x - 6x = x^2 - 7x
4. Для x ≥ 1: y = (x)x - x - 6x = x^2 - x - 6x = x^2 - 7x

Теперь построим график каждой части функции:

1. Для x ≤ -1: y = x^2 - 5x - парабола, направленная вверх, с вершиной в точке (-2.5, 6.25)
2. Для -1 ≤ x ≤ 0: y = -x^2 - 5x - парабола, направленная вниз, с вершиной в точке (-2.5, -6.25)
3. Для 0 ≤ x ≤ 1: y = x^2 - 7x - парабола, направленная вверх, с вершиной в точке (3.5, 6.25)
4. Для x ≥ 1: y = x^2 - 7x - парабола, направленная вверх, с вершиной в точке (3.5, 6.25)

Теперь объединим все части и получим график функции y = |x|x - |x| - 6x, который будет состоять из двух парабол, направленных вверх, и двух парабол, направленных вниз, соответственно.

Для того чтобы построить график функции ( y = |x|x - |x| - 6x ), сначала разберёмся с каждым из выражений, входящих в данную функцию.

Функция ( |x| ) — это модуль числа ( x ). Модуль числа принимает значение самого числа, если оно неотрицательное, и противоположное число, если оно отрицательное. То есть:

• ( |x| = x ), если ( x \geq 0 ),
• ( |x| = -x ), если ( x < 0 ).

Рассмотрим два случая для ( x ): ( x \geq 0 ) и ( x < 0 ).

Случай 1: ( x \geq 0 )

Когда ( x \geq 0 ), модуль числа ( x ) равен самому числу ( x ). Подставим это в исходную функцию: [ y = |x|x - |x| - 6x ] [ y = x \cdot x - x - 6x ] [ y = x^2 - x - 6x ] [ y = x^2 - 7x ]

Итак, для ( x \geq 0 ) наша функция приобретает вид: [ y = x^2 - 7x ]

Случай 2: ( x < 0 )

Когда ( x < 0 ), модуль числа ( x ) равен ( -x ). Подставим это в исходную функцию: [ y = |x|x - |x| - 6x ] [ y = (-x)x - (-x) - 6x ] [ y = -x^2 + x - 6x ] [ y = -x^2 - 5x ]

Итак, для ( x < 0 ) наша функция приобретает вид: [ y = -x^2 - 5x ]

Построение графика

Теперь мы знаем, что функция ( y = |x|x - |x| - 6x ) определяется двумя разными выражениями в зависимости от знака переменной ( x ):

1. Для ( x \geq 0 ): [ y = x^2 - 7x ]

2. Для ( x < 0 ): [ y = -x^2 - 5x ]

На этом этапе можно построить график, используя стандартные методы построения парабол:

1. ( y = x^2 - 7x )

Это парабола, ветви которой направлены вверх. Найдём её вершину:

• Вершина параболы находится в точке ( x = -\frac{b}{2a} ), где ( a = 1 ) и ( b = -7 ): [ x = -\frac{-7}{2 \cdot 1} = \frac{7}{2} = 3.5 ]

Подставим ( x = 3.5 ) в уравнение функции, чтобы найти ( y )-координату вершины: [ y = (3.5)^2 - 7 \cdot 3.5 ] [ y = 12.25 - 24.5 ] [ y = -12.25 ]

Вершина параболы находится в точке ( (3.5, -12.25) ). Парабола пересекает ось ( y ) в точке ( y = 0 ) при ( x = 0 ): [ y = 0^2 - 7 \cdot 0 = 0 ]

2. ( y = -x^2 - 5x )

Это парабола, ветви которой направлены вниз. Найдём её вершину:

• Вершина параболы находится в точке ( x = -\frac{b}{2a} ), где ( a = -1 ) и ( b = -5 ): [ x = -\frac{-5}{2 \cdot -1} = \frac{5}{-2} = -2.5 ]

Подставим ( x = -2.5 ) в уравнение функции, чтобы найти ( y )-координату вершины: [ y = -(-2.5)^2 - 5 \cdot (-2.5) ] [ y = -6.25 + 12.5 ] [ y = 6.25 ]

Вершина параболы находится в точке ( (-2.5, 6.25) ). Парабола пересекает ось ( y ) в точке ( y = 0 ) при ( x = 0 ): [ y = -(0)^2 - 5 \cdot 0 = 0 ]

Итоговый график

Итак, график функции ( y = |x|x - |x| - 6x ) состоит из двух частей:

1. Для ( x \geq 0 ), график представляет собой параболу ( y = x^2 - 7x ) с вершиной в точке ( (3.5, -12.25) ).
2. Для ( x < 0 ), график представляет собой параболу ( y = -x^2 - 5x ) с вершиной в точке ( (-2.5, 6.25) ).

Соединяем эти две части, и получаем полный график функции, который будет иметь разрыв в производной на ( x = 0 ), но будет непрерывным.