Постройте график функции y=x^3-3x+3. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке [-1/2;3]

Наибольшее значение функции на отрезке [-1/2;3] равно 9, наименьшее значение равно 1.

Для построения графика функции y=x^3-3x+3 необходимо провести следующие шаги:

1. Найдем точки пересечения с осями координат:

   • При x=0, y=3
   • При y=0, x^3-3x+3=0 - решив это уравнение, получим x=-1, x=1±√3

2. Проанализируем поведение функции в окрестности найденных точек:

   • При x→-∞, y→-∞
   • При x→∞, y→∞
   • При x→-1, y→5
   • При x→1±√3, y→0
   • При x→-1/2 или x→3, найдем соответствующие значения функции.

Таким образом, наибольшее значение функции на отрезке [-1/2;3] равно 5 (в точке x=-1), а наименьшее значение равно 0 (в точках x=1±√3).

График функции y=x^3-3x+3 будет иметь вид кубической кривой, проходящей через точки (0,3), (-1,5), (1+√3,0) и (1-√3,0), с асимптотами y→-∞ при x→-∞ и y→∞ при x→∞.

Для решения задачи необходимо выполнить несколько шагов: построить график функции ( y = x^3 - 3x + 3 ) и найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке ([-1/2, 3]).

Шаг 1: Исследование функции

1. Производная функции: Найдем производную функции, чтобы определить критические точки и исследовать поведение функции. [ y' = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x + 3) = 3x^2 - 3 ]

2. Нахождение критических точек: Критические точки находятся, когда ( y' = 0 ). [ 3x^2 - 3 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1 ] Таким образом, критические точки: ( x = -1 ) и ( x = 1 ).

3. Вторая производная: Для определения характера критических точек (минимум или максимум), используем вторую производную. [ y'' = \frac{d^2}{dx^2}(x^3 - 3x + 3) = 6x ]

   • При ( x = -1 ): ( y''(-1) = 6(-1) = -6 ) (локальный максимум).
   • При ( x = 1 ): ( y''(1) = 6(1) = 6 ) (локальный минимум).

Шаг 2: Значения функции на критических точках и концах отрезка

Рассчитаем значения функции в критических точках и на концах отрезка ([-1/2, 3]).

1. Значение функции в критических точках:

   • ( y(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 3 = -1 + 3 + 3 = 5 )
   • ( y(1) = (1)^3 - 3(1) + 3 = 1 - 3 + 3 = 1 )

2. Значение функции на концах отрезка:

   • ( y\left(-\frac{1}{2}\right) = \left(-\frac{1}{2}\right)^3 - 3\left(-\frac{1}{2}\right) + 3 = -\frac{1}{8} + \frac{3}{2} + 3 = \frac{23}{8} )
   • ( y(3) = 3^3 - 3 \times 3 + 3 = 27 - 9 + 3 = 21 )

Шаг 3: Определение наибольшего и наименьшего значений на отрезке

Сравним полученные значения:

• ( y(-1) = 5 )
• ( y(1) = 1 )
• ( y\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{23}{8} = 2.875 )
• ( y(3) = 21 )

Наибольшее значение функции на отрезке ([-1/2, 3]) — это 21 при ( x = 3 ).

Наименьшее значение функции на отрезке ([-1/2, 3]) — это 1 при ( x = 1 ).

Итог

1. Наибольшее значение: ( y = 21 ) при ( x = 3 ).
2. Наименьшее значение: ( y = 1 ) при ( x = 1 ).

График функции ( y = x^3 - 3x + 3 ) имеет локальный максимум в точке ( x = -1 ) и локальный минимум в точке ( x = 1 ). На заданном отрезке функция принимает максимальное значение в правой конечной точке, а минимальное — в одной из критических точек.