Постройте график функции y=x^2-4| x |-2x и определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком...

Так как функция y=x^2-4| x |-2x является кусочно-заданной, то для построения графика необходимо разбить её на отдельные части в зависимости от значения x.

1. При x < 0 функция принимает вид y=x^2+4x-2x = x^2+2x.
2. При 0 ≤ x < 2 функция принимает вид y=x^2-4x-2x = x^2-6x.
3. При x ≥ 2 функция принимает вид y=x^2-4x-2x = x^2-6x.

Теперь построим график функции y=x^2+2x для x < 0, y=x^2-6x для 0 ≤ x < 2 и y=x^2-6x для x ≥ 2. Для каждой части графика найдем точки пересечения с прямой y=m.

1. Для y=x^2+2x при x < 0: m=x^2+2x, x^2+2x-m=0. Нужно найти значения x, при которых уравнение имеет 1, 2 или 3 корня. Решив это уравнение, мы найдем значения m для каждого случая.
2. Повторим тот же процесс для остальных частей функции.

Таким образом, мы сможем определить при каких значениях m прямая y=m имеет не менее одной, но не более трёх общих точек с графиком функции y=x^2-4| x |-2x.

Для того чтобы построить график функции ( y = x^2 - 4|x| - 2x ) и определить значения ( m ), при которых прямая ( y = m ) имеет с графиком не менее одной, но не более трёх общих точек, следуем следующим шагам:

Шаг 1: Учет модуля

Функция включает модуль ( |x| ), что требует разбить функцию на две части в зависимости от знака ( x ):

1. Для ( x \geq 0 ): ( |x| = x ), тогда функция принимает вид: [ y = x^2 - 4x - 2x = x^2 - 6x ]

2. Для ( x < 0 ): ( |x| = -x ), тогда функция принимает вид: [ y = x^2 + 4x - 2x = x^2 + 2x ]

Шаг 2: Анализ каждой части функции

• Для ( x \geq 0 ): ( y = x^2 - 6x )

  • Это квадратная функция с ветвями, направленными вверх.
  • Вершина этой параболы находится в точке ( x = \frac{-b}{2a} = \frac{6}{2} = 3 ).
  • Значение функции в вершине: ( y(3) = 3^2 - 6 \times 3 = 9 - 18 = -9 ).

• Для ( x < 0 ): ( y = x^2 + 2x )

  • Это также квадратная функция с ветвями, направленными вверх.
  • Вершина этой параболы находится в точке ( x = \frac{-b}{2a} = \frac{-2}{2} = -1 ).
  • Значение функции в вершине: ( y(-1) = (-1)^2 + 2 \times (-1) = 1 - 2 = -1 ).

Шаг 3: Построение графика

График состоит из двух парабол:

• Парабола для ( x \geq 0 ), вершина в точке (3, -9).
• Парабола для ( x < 0 ), вершина в точке (-1, -1).

Эти параболы пересекаются в точке ( x = 0 ):

• Для ( x = 0 ): ( y = 0^2 - 4 \times 0 - 2 \times 0 = 0 ).

Шаг 4: Определение значений ( m )

Необходимо определить, при каких ( m ) прямая ( y = m ) пересекает график не менее чем в одной и не более чем в трех точках.

1. ( m > 0 ): Прямая не пересекает график.
2. ( m = 0 ): Прямая пересекает график в одной точке ( (0, 0) ).
3. ( m \in (-9, 0) ): Прямая пересекает график в трёх точках (две на одном из кусков функции и одна на другом).
4. ( m = -9 ): Прямая касается графика в одной точке (вершина правой параболы).
5. ( m < -9 ): Прямая пересекает график в двух точках (по одной точке на каждом из кусков функции).

Таким образом, значения ( m ), при которых прямая пересекает график не менее чем в одной и не более чем в трёх точках, составляют промежуток ( m \leq 0 ).