Постройте график функции: y=x в квадрате - 7x + 10

Это парабола, которая открывается вверх.

Для построения графика функции y = x^2 - 7x + 10 сначала определим её вершину. Вершина параболы задается формулой x = -b / (2a), где a = 1 (коэффициент при x^2), b = -7 (коэффициент при x). Подставляя значения, получаем x = 7 / 2 = 3.5.

Теперь найдем значение функции в вершине: y = (3.5)^2 - 7 * 3.5 + 10 = 12.25 - 24.5 + 10 = -2.25.

Итак, вершина параболы находится в точке (3.5, -2.25). Теперь построим график, используя эту информацию. На графике мы увидим параболу, направленную вверх, с вершиной в точке (3.5, -2.25).

Чтобы построить график функции ( y = x^2 - 7x + 10 ), следуйте этим шагам:

1. Определите тип функции: Это квадратичная функция, графиком которой является парабола.

2. Найдите вершину параболы: Вершина параболы находится в точке ( x = -\frac{b}{2a} ), где ( a ) и ( b ) - коэффициенты из уравнения ( y = ax^2 + bx + c ). В нашем случае ( a = 1 ), ( b = -7 ), и ( c = 10 ).

   Подставим значения: [ x = -\frac{-7}{2 \cdot 1} = \frac{7}{2} = 3.5 ]

   Теперь найдём значение ( y ) в этой точке: [ y = (3.5)^2 - 7 \cdot 3.5 + 10 = 12.25 - 24.5 + 10 = -2.25 ] Таким образом, вершина параболы находится в точке ( (3.5, -2.25) ).

3. Найдите корни уравнения: Для нахождения корней уравнения ( x^2 - 7x + 10 = 0 ) воспользуемся формулой корней квадратного уравнения: [ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ] Подставим значения: [ x = \frac{7 \pm \sqrt{(-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1} = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2} = \frac{7 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{7 \pm 3}{2} ] Получаем два корня: [ x_1 = \frac{7 + 3}{2} = 5, \quad x_2 = \frac{7 - 3}{2} = 2 ] Таким образом, корни уравнения: ( x = 2 ) и ( x = 5 ).

4. Постройте дополнительные точки: Для точности построения графика можно определить несколько дополнительных точек. Подставим несколько значений ( x ) в уравнение и найдём соответствующие ( y ).

   • Если ( x = 0 ): [ y = 0^2 - 7 \cdot 0 + 10 = 10 \quad \text{(точка (0, 10))} ]
   • Если ( x = 1 ): [ y = 1^2 - 7 \cdot 1 + 10 = 1 - 7 + 10 = 4 \quad \text{(точка (1, 4))} ]
   • Если ( x = 4 ): [ y = 4^2 - 7 \cdot 4 + 10 = 16 - 28 + 10 = -2 \quad \text{(точка (4, -2))} ]

5. Построение графика: Теперь у нас есть достаточно точек для построения графика. Начинаем с корней и вершины, затем добавляем дополнительные точки.

   • Корни: ( (2, 0) ) и ( (5, 0) )
   • Вершина: ( (3.5, -2.25) )
   • Дополнительные точки: ( (0, 10) ), ( (1, 4) ), ( (4, -2) )

Соедините эти точки плавной кривой, чтобы получить параболу. График будет направлен вверх, поскольку коэффициент ( a = 1 ) положительный.

Вот как выглядит график функции ( y = x^2 - 7x + 10 ):

       y
       |
  10 + |
     9 |                  *
     8 |
     7 |
     6 |
     5 |
  4 + |        *
     3 |
     2 |
     1 |
  0 + *-----------+-----------+-----------+-----------+-----------+---- x
    -1 |
    -2 |                            *         *
    -3 |
    -4 |
  
          0       1           2           3           4           5

Таким образом, мы построили график функции ( y = x^2 - 7x + 10 ).