Постройте график функции y=x²-4x+7

Для того чтобы построить график функции ( y = x^2 - 4x + 7 ), нужно выполнить несколько шагов, которые помогут понять форму и расположение параболы на координатной плоскости.

Шаг 1: Определение типа функции

Функция ( y = x^2 - 4x + 7 ) является квадратичной, так как её основной член — ( x^2 ). График квадратичной функции представляет собой параболу. Коэффициент при ( x^2 ) положителен (равен 1), следовательно, парабола направлена вверх.

Шаг 2: Нахождение вершины параболы

Вершина параболы находится в точке, где функция принимает минимальное значение. Координаты вершины параболы ( y = ax^2 + bx + c ) можно найти по формулам: [ x{\text{вершины}} = -\frac{b}{2a} ] [ y{\text{вершины}} = f\left( x_{\text{вершины}} \right) ]

В данном случае ( a = 1 ), ( b = -4 ), ( c = 7 ). Подставим значения ( a ) и ( b ): [ x_{\text{вершины}} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2 ]

Теперь подставим ( x = 2 ) в исходную функцию, чтобы найти ( y{\text{вершины}} ): [ y{\text{вершины}} = (2)^2 - 4 \cdot 2 + 7 = 4 - 8 + 7 = 3 ]

Таким образом, вершина параболы находится в точке ( (2, 3) ).

Шаг 3: Нахождение оси симметрии

Ось симметрии параболы — это вертикальная прямая, проходящая через вершину. В данном случае уравнение оси симметрии: [ x = 2 ]

Шаг 4: Нахождение дополнительных точек

Для более точного построения графика желательно найти несколько дополнительных точек. Подставим несколько значений ( x ) в уравнение функции и найдем соответствующие значения ( y ).

• Для ( x = 0 ): [ y = 0^2 - 4 \cdot 0 + 7 = 7 ] Точка ( (0, 7) )

• Для ( x = 1 ): [ y = 1^2 - 4 \cdot 1 + 7 = 1 - 4 + 7 = 4 ] Точка ( (1, 4) )

• Для ( x = 3 ): [ y = 3^2 - 4 \cdot 3 + 7 = 9 - 12 + 7 = 4 ] Точка ( (3, 4) )

• Для ( x = 4 ): [ y = 4^2 - 4 \cdot 4 + 7 = 16 - 16 + 7 = 7 ] Точка ( (4, 7) )

Шаг 5: Построение графика

Теперь, имея вершину, ось симметрии и несколько дополнительных точек, можно построить график функции.

1. Нанесем на координатную плоскость вершину ( (2, 3) ).
2. Проведем вертикальную прямую ( x = 2 ), которая будет осью симметрии.
3. Нанесем точки ( (0, 7) ), ( (1, 4) ), ( (3, 4) ), ( (4, 7) ).
4. Соединим точки плавной кривой, получив параболу.

График функции ( y = x^2 - 4x + 7 ) представляет собой параболу с вершиной в точке ( (2, 3) ), направленную вверх.

Итоговый график

Графически это выглядит следующим образом (грубо):

   y
   ^
  9|                           *
  8|
  7|             *           *  
  6|
  5|
  4|         *           *      
  3|             * (2,3)         
  2|
  1|
  0|__________________________________> x
     0  1  2  3  4

Каждая точка соответствует вычисленным значениям.

График функции y=x²-4x+7 - это парабола, которая открывается вверх.

Для построения графика функции y=x²-4x+7 нужно следовать нескольким шагам:

1. Найдем вершину параболы, используя формулу x = -b / (2a), где a = 1, b = -4. Таким образом, x = -(-4) / (21) = 2. Теперь найдем значение y в этой точке: y = 2² - 42 + 7 = 4 - 8 + 7 = 3. Таким образом, вершина параболы находится в точке (2, 3).

2. Определим, в каких точках функция пересекает ось ординат. Для этого приравняем y к нулю и решим уравнение x² - 4x + 7 = 0. Дискриминант этого квадратного уравнения меньше нуля, поэтому функция не пересекает ось ординат.

3. Построим график, используя найденные точки: вершину (2, 3) и то, что функция не пересекает ось ординат. График будет представлять собой параболу, направленную вверх, с вершиной в точке (2, 3).

Таким образом, график функции y=x²-4x+7 будет выглядеть как парабола, не пересекающая ось ординат и с вершиной в точке (2, 3).