Построить график и описать функцию у=х^2-7х+12

Чтобы построить график функции ( y = x^2 - 7x + 12 ) и описать её, следуем следующим шагам:

1. Определение типа функции

Данная функция является квадратичной и имеет вид ( y = ax^2 + bx + c ), где:

• ( a = 1 )
• ( b = -7 )
• ( c = 12 )

Квадратичная функция представляет собой параболу. Так как ( a > 0 ), ветви параболы направлены вверх.

2. Найдите вершину параболы

Вершина параболы находится в точке ( x = -\frac{b}{2a} ): [ x = -\frac{-7}{2 \cdot 1} = \frac{7}{2} ]

Теперь найдём значение функции в этой точке: [ y = \left(\frac{7}{2}\right)^2 - 7 \cdot \frac{7}{2} + 12 ]

[ y = \frac{49}{4} - \frac{49}{2} + 12 ]

[ y = \frac{49}{4} - \frac{98}{4} + \frac{48}{4} ]

[ y = \frac{-1}{4} ]

Таким образом, вершина параболы находится в точке ( \left(\frac{7}{2}, -\frac{1}{4}\right) ).

3. Найдите нули функции

Для нахождения нулей функции решаем уравнение ( x^2 - 7x + 12 = 0 ). Это квадратное уравнение можно решить, разложив на множители: [ x^2 - 7x + 12 = (x - 3)(x - 4) = 0 ]

Отсюда получаем: [ x - 3 = 0 \quad \text{или} \quad x - 4 = 0 ]

Таким образом, ( x = 3 ) и ( x = 4 ) — это корни уравнения, и, следовательно, точки пересечения графика с осью ( x ).

4. Построение графика

1. Отметьте вершину параболы ( \left(\frac{7}{2}, -\frac{1}{4}\right) ).
2. Отметьте точки пересечения с осью ( x ) в ( x = 3 ) и ( x = 4 ).
3. Отметьте точку пересечения с осью ( y ), которая находится в точке ( (0, 12) ) (это значение ( y ) при ( x = 0 )).
4. Используя симметрию параболы относительно вертикальной линии, проходящей через вершину, нарисуйте график, соединяя отмеченные точки плавной кривой.

5. Описание свойств функции

• Ветви параболы направлены вверх, поскольку коэффициент ( a = 1 ) положителен.
• Вершина параболы: ( \left(\frac{7}{2}, -\frac{1}{4}\right) ).
• Ось симметрии: прямая ( x = \frac{7}{2} ).
• Нули функции: ( x = 3 ) и ( x = 4 ).
• Область определения: все действительные числа ( x \in \mathbb{R} ).
• Область значений: ( y \geq -\frac{1}{4} ).
• Точка пересечения с осью ( y ): ( (0, 12) ).

Таким образом, мы можем полностью описать и построить график функции ( y = x^2 - 7x + 12 ).

Для построения графика функции у=х^2-7х+12 необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти вершину параболы. Вершина параболы имеет координаты (h, k), где h = -(-7)/(21) = 7/2 = 3.5 и k = 3.5^2 - 73.5 + 12 = 0.25. Таким образом, вершина параболы имеет координаты (3.5, 0.25).

2. Найти точки пересечения с осями координат. Для этого решим у=х^2-7х+12=0. Получим корни уравнения: х1 = 4, х2 = 3. Таким образом, функция пересекает ось ординат в точке (0, 12) и ось абсцисс в точках (4, 0) и (3, 0).

3. Построим график функции, используя найденные точки. Полученная парабола будет направлена вверх и иметь вершину в точке (3.5, 0.25), пересекая ось ординат в точке (0, 12) и ось абсцисс в точках (4, 0) и (3, 0).

Таким образом, график функции у=х^2-7х+12 представляет собой параболу, направленную вверх, с вершиной в точке (3.5, 0.25), пересекающую ось ординат в точке (0, 12) и ось абсцисс в точках (4, 0) и (3, 0).