Построить график функции f(x)=x³-x²-x+² на отрезке [-1;2]

Для построения графика функции f(x)=x³-x²-x+² на отрезке [-1;2] необходимо провести основные шаги:

1. Найти значения функции для граничных точек отрезка (-1 и 2) и для точек между ними.
2. Построить точки на графике, соответствующие найденным значениям.
3. Соединить точки гладкой кривой, чтобы построить график функции.

График функции f(x)=x³-x²-x+² на отрезке [-1;2] будет представлять собой кривую, проходящую через точки (-1, 1), (0, 0), (1, 1) и (2, 6).

Для построения графика функции f(x) = x³ - x² - x + 2 на отрезке [-1;2] необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти значения функции f(x) для каждой точки на отрезке [-1;2]. Для этого подставляем значения x = -1, 0, 1 и 2 в выражение f(x) = x³ - x² - x + 2:

• При x = -1: f(-1) = (-1)³ - (-1)² - (-1) + 2 = -1 - 1 + 1 + 2 = 1
• При x = 0: f(0) = 0 - 0 - 0 + 2 = 2
• При x = 1: f(1) = 1 - 1 - 1 + 2 = 1
• При x = 2: f(2) = 8 - 4 - 2 + 2 = 4

1. Построить координатную плоскость с осями x и y.
2. Отметить на оси x отрезок [-1;2].
3. Поставить точки с координатами (-1, 1), (0, 2), (1, 1), (2, 4) на графике.
4. Соединить точки гладкой кривой, чтобы получить график функции f(x) = x³ - x² - x + 2 на отрезке [-1;2].

Таким образом, после выполнения указанных шагов вы получите график функции f(x) = x³ - x² - x + 2 на отрезке [-1;2].

Для того чтобы построить график функции ( f(x) = x^3 - x^2 - x + 2 ) на отрезке ([-1; 2]), нужно выполнить несколько шагов, включающих нахождение ключевых точек, анализ поведения функции и построение графика.

1. Анализ функции и ее свойств:

Определение функции:

Функция является полиномом третьей степени, поэтому ее график будет представлять собой непрерывную кривую без разрывов и скачков.

2. Нахождение критических точек:

Для нахождения экстремумов функции нужно найти производную ( f'(x) ) и решить уравнение ( f'(x) = 0 ):

[ f(x) = x^3 - x^2 - x + 2 ]

Вычислим первую производную: [ f'(x) = 3x^2 - 2x - 1 ]

Решим уравнение ( 3x^2 - 2x - 1 = 0 ):

Используем дискриминант: [ D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16 ]

Корни уравнения: [ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + 4}{6} = 1 ] [ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - 4}{6} = -\frac{1}{3} ]

3. Точки экстремумов:

Подставим найденные значения ( x_1 ) и ( x_2 ) в функцию ( f(x) ) для нахождения значений функции в этих точках:

[ f(1) = 1^3 - 1^2 - 1 + 2 = 1 - 1 - 1 + 2 = 1 ] [ f\left(-\frac{1}{3}\right) = \left(-\frac{1}{3}\right)^3 - \left(-\frac{1}{3}\right)^2 - \left(-\frac{1}{3}\right) + 2 = -\frac{1}{27} - \frac{1}{9} + \frac{1}{3} + 2 ]

Приведем к общему знаменателю: [ f\left(-\frac{1}{3}\right) = -\frac{1}{27} - \frac{3}{27} + \frac{9}{27} + \frac{54}{27} = \frac{59}{27} \approx 2.19 ]

4. Проверка поведения на концах отрезка:

Вычислим значения функции на концах отрезка ([-1; 2]):

[ f(-1) = (-1)^3 - (-1)^2 - (-1) + 2 = -1 - 1 + 1 + 2 = 1 ] [ f(2) = 2^3 - 2^2 - 2 + 2 = 8 - 4 - 2 + 2 = 4 ]

5. Построение графика:

Теперь у нас есть ключевые точки для построения графика:

• Концы отрезка: ((-1, 1)) и ((2, 4))
• Экстремумы: ((1, 1)) и (\left(-\frac{1}{3}, \frac{59}{27}\right))

6. Составление таблицы значений:

Для более точного построения графика вычислим значения функции в нескольких промежуточных точках:

7. Построение графика:

Используя найденные значения, можно построить график функции ( f(x) = x^3 - x^2 - x + 2 ) на отрезке ([-1; 2]). Обратите внимание на ключевые точки и экстремумы.

График будет выглядеть следующим образом:

• Начинается с точки ((-1, 1))
• Поднимается до (\left(-\frac{1}{3}, \frac{59}{27}\right))
• Падает до ((1, 1))
• Затем снова поднимается до ((2, 4))

Учитывая плавные изменения и гладкие переходы, график будет иметь характерную форму кубического полинома с одним максимумом и одним минимумом на указанном отрезке.