Построить график функции: 1)y=3^x. 2)y=(1/3)^x

Оба графика являются экспоненциальными функциями. График функции y=3^x будет возрастающей экспоненциальной функцией, а график функции y=(1/3)^x будет убывающей экспоненциальной функцией.

Для построения графиков функций ( y = 3^x ) и ( y = \left(\frac{1}{3}\right)^x ), рассмотрим каждую функцию отдельно.

1. График функции ( y = 3^x )

Функция ( y = 3^x ) является экспоненциальной функцией, где основание экспоненты больше 1. Давайте исследуем её свойства:

1. Область определения: ( x \in (-\infty, \infty) ). Функция определена для всех действительных чисел ( x ).
2. Область значений: ( y > 0 ). Так как ( 3^x ) всегда положительно.
3. Пересечение с осями:
   • С осью ( y ): при ( x = 0 ), ( y = 3^0 = 1 ). Значит, точка пересечения с осью ( y ) — (0, 1).
   • С осью ( x ): нет пересечений, так как ( y = 3^x ) никогда не равен нулю.
4. Поведение на бесконечности:
   • При ( x \to \infty ), ( y \to \infty ).
   • При ( x \to -\infty ), ( y \to 0 ) (но не достигает нуля).

Теперь построим график:

• Начнем с точки (0, 1).
• Для ( x > 0 ), ( y ) быстро возрастает. Например, при ( x = 1 ), ( y = 3 ); при ( x = 2 ), ( y = 9 ).
• Для ( x < 0 ), ( y ) убывает к 0. Например, при ( x = -1 ), ( y = \frac{1}{3} ); при ( x = -2 ), ( y = \frac{1}{9} ).

График функции ( y = 3^x ) будет выглядеть как возрастающая кривая, стремящаяся к 0 при ( x \to -\infty ) и стремящаяся к бесконечности при ( x \to \infty ).

2. График функции ( y = \left(\frac{1}{3}\right)^x )

Функция ( y = \left(\frac{1}{3}\right)^x ) также является экспоненциальной, но с основанием между 0 и 1. Исследуем её свойства:

1. Область определения: ( x \in (-\infty, \infty) ). Функция определена для всех действительных чисел ( x ).
2. Область значений: ( y > 0 ). Так как ( \left(\frac{1}{3}\right)^x ) всегда положительно.
3. Пересечение с осями:
   • С осью ( y ): при ( x = 0 ), ( y = \left(\frac{1}{3}\right)^0 = 1 ). Значит, точка пересечения с осью ( y ) — (0, 1).
   • С осью ( x ): нет пересечений, так как ( y = \left(\frac{1}{3}\right)^x ) никогда не равен нулю.
4. Поведение на бесконечности:
   • При ( x \to \infty ), ( y \to 0 ) (но не достигает нуля).
   • При ( x \to -\infty ), ( y \to \infty ).

Теперь построим график:

• Начнем с точки (0, 1).
• Для ( x > 0 ), ( y ) убывает к 0. Например, при ( x = 1 ), ( y = \frac{1}{3} ); при ( x = 2 ), ( y = \frac{1}{9} ).
• Для ( x < 0 ), ( y ) возрастает. Например, при ( x = -1 ), ( y = 3 ); при ( x = -2 ), ( y = 9 ).

График функции ( y = \left(\frac{1}{3}\right)^x ) будет выглядеть как убывающая кривая, стремящаяся к бесконечности при ( x \to -\infty ) и стремящаяся к 0 при ( x \to \infty ).

Заключение

Обе функции имеют точки пересечения с осью ( y ) в точке (0, 1), но их графики имеют противоположное направление. График функции ( y = 3^x ) возрастает, а график функции ( y = \left(\frac{1}{3}\right)^x ) убывает.

Для построения графика функций y=3^x и y=(1/3)^x необходимо подставить различные значения x и вычислить соответствующие значения y.

Для функции y=3^x: При x=0, y=3^0=1 При x=1, y=3^1=3 При x=2, y=3^2=9 И так далее.

Для функции y=(1/3)^x: При x=0, y=(1/3)^0=1 При x=1, y=(1/3)^1=1/3 При x=2, y=(1/3)^2=1/9 И так далее.

После того, как вы найдете достаточное количество точек, построите графики обеих функций на координатной плоскости. График функции y=3^x будет растущим экспоненциальным графиком, который стремится к бесконечности при положительных значениях x и к 0 при отрицательных значениях x. График функции y=(1/3)^x будет убывающим экспоненциальным графиком, который также стремится к бесконечности при отрицательных значениях x и к 0 при положительных значениях x.