После строительства дома осталась некоторое количество плиток их можно использовать для выкладывания прямоугольной площадки Если укладывать в ряд по 10 плиток то для квадратной площадки плиток не хватает при укладывании в ряд по 7 плиток остаётся 1 не полный ряд а при укладывании по 8 тоже остаётся не полный ряд в котором на 5 плиток меньше чем в неполном ряду при укладывании по 7 сколько всего плиток остаётся после строительства дома ?
Давайте обозначим количество плиток, которое осталось после строительства дома, как ( N ).
Из условия задачи у нас есть несколько уравнений, основанных на том, как плитки укладываются в ряд:
Если укладывать плитки по 10, то их не хватает для квадратной площадки. Это означает, что ( N ) не является полным квадратом, когда мы делим его на 10. Мы можем записать это как: [ N = k^2 - r_1 \quad (где \, r_1 < 10) ] здесь ( k ) — это какое-то целое число (сторона квадрата), а ( r_1 ) — остаток плиток.
Если укладывать плитки по 7, то остаётся 1 плитка, то есть: [ N \equiv 1 \mod 7 ] Это означает, что мы можем записать: [ N = 7m + 1 \quad (где \, m \, — \, целое \, число) ]
Если укладывать плитки по 8, то остаётся не полный ряд, в котором на 5 плиток меньше, чем в неполном ряду при укладывании по 7 плиток. Это можно записать как: [ N \equiv r_2 \mod 8 ] где ( r_2 = r_1 - 5 ).
При этом по условию: [ r_1 = 7m \quad (где \, m \, \, целое \, число) ]
Теперь нам нужно выразить ( N ) через ( r_1 ) и ( r_2 ).
Сначала подставим значение ( N ) в уравнение для укладки по 10, имея в виду, что ( N \equiv 1 \mod 7 ): [ 7m + 1 = 10k - r_1 ]
Теперь у нас есть два условия по остатку. Подставим значения ( r_1 ) и ( r_2 ): [ N \equiv 1 \mod 7 ] [ N \equiv (r_1 - 5) \mod 8 ]
Теперь надо решить систему уравнений. Для начала можно попробовать разные значения ( m ) и посмотреть, какие остатки получаются.
Допустим, ( m = 0 ): [ N = 1 ] Не подходит.
Допустим, ( m = 1 ): [ N = 8 ] Не подходит.
Допустим, ( m = 2 ): [ N = 15 ] Теперь проверяем: [ 15 \div 10 = 1 \quad (остаток \, =5) \quad \text{(не хватает для квадрата)} ] [ 15 \div 7 = 2 \quad (остаток \, =1) \quad \text{(подходит)} ] [ 15 \div 8 = 1 \quad (остаток \, =7) \quad \text{(7 на 5 больше, чем 2)} ]
Таким образом, ( N = 15 ) подходит под условия задачи, поскольку:
Таким образом, после строительства дома осталось 15 плиток.
Давайте решим задачу шаг за шагом.
Мы должны найти общее количество плиток ( N ).
Если укладывать плитки в ряды по 7 штук, то остается неполный ряд, размер которого обозначим за ( r_7 ). Остаток ( r_7 ) при делении ( N ) на 7: [ N = 7m + r_7, \quad \text{где } r_7 < 7. ]
Если укладывать плитки в ряды по 8 штук, остаётся неполный ряд, размер которого ( r_8 ). Остаток ( r_8 ) при делении ( N ) на 8: [ N = 8n + r_8, \quad \text{где } r_8 < 8. ]
По условию задачи, размер неполного ряда при укладке по 8 штук (( r_8 )) на 5 плиток меньше, чем при укладке по 7 штук (( r_7 )): [ r_8 = r_7 - 5. ]
Поскольку остаток ( r_7 < 7 ), а ( r_8 = r_7 - 5 ), то ( r_8 ) может быть только в пределах ( 0 \leq r_8 < 8 ). Это даёт возможные значения для ( r_7 ): [ r_7 \geq 5 \quad \text{(иначе ( r_8 ) будет отрицательным)}. ]
Таким образом, возможные значения: [ r_7 = 5, \, 6. ]
Если ( r_7 = 5 ), то: [ r_8 = r_7 - 5 = 5 - 5 = 0. ] Это значит, что ( N ) делится на 8 нацело. Попробуем выразить ( N ): [ N = 7m + 5, \quad N = 8n. ]
Из этих двух уравнений следует, что ( 7m + 5 ) должно быть кратно 8: [ 7m + 5 \equiv 0 \pmod{8}. ]
Упростим: [ 7m \equiv -5 \pmod{8}. ]
Поскольку ( 7 \equiv -1 \pmod{8} ), подставим: [ -1 \cdot m \equiv -5 \pmod{8}. ]
Умножим всё на (-1): [ m \equiv 5 \pmod{8}. ]
Значит, ( m = 8k + 5 ), где ( k ) — целое число. Подставим ( m ) в выражение для ( N ): [ N = 7m + 5 = 7(8k + 5) + 5 = 56k + 35 + 5 = 56k + 40. ]
Таким образом: [ N = 56k + 40. ]
Проверим, удовлетворяет ли ( N ) всем условиям:
Значит, это решение корректно.
Если ( r_7 = 6 ), то: [ r_8 = r_7 - 5 = 6 - 5 = 1. ] Это значит, что остаток при делении ( N ) на 8 равен 1. Попробуем выразить ( N ): [ N = 7m + 6, \quad N = 8n + 1. ]
Из этих двух уравнений следует, что ( 7m + 6 ) должно быть равно ( 8n + 1 ). Упростим: [ 7m + 6 \equiv 1 \pmod{8}. ]
Упростим: [ 7m \equiv -5 \pmod{8}. ]
Как и ранее, ( 7 \equiv -1 \pmod{8} ), поэтому: [ -1 \cdot m \equiv -5 \pmod{8}. ]
Умножим на (-1): [ m \equiv 5 \pmod{8}. ]
Значит, ( m = 8k + 5 ), где ( k ) — целое число. Подставим ( m ) в выражение для ( N ): [ N = 7m + 6 = 7(8k + 5) + 6 = 56k + 35 + 6 = 56k + 41. ]
Таким образом: [ N = 56k + 41. ]
Проверим, удовлетворяет ли ( N ) всем условиям:
Значит, это решение тоже корректно.
Общее количество плиток ( N ) может быть записано в виде:
Для минимального ( k = 0 ):
Таким образом, возможные значения ( N ) — 40 или 41.
