Помогите решить систему уравнений методом подстановки а) x^2+y^2=25 , x-y=1. б) x^2+y^2=16 , x+y=4

а) x=3, y=2. б) x=2, y=2.

Для решения систем уравнений методом подстановки сначала выразим одну переменную через другую из одного уравнения и подставим это выражение во второе уравнение. Рассмотрим каждый случай по отдельности.

Система (а):

[ x^2 + y^2 = 25 ] [ x - y = 1 ]

1. Выразим (x) через (y) из второго уравнения: [ x = y + 1 ]

2. Подставим это выражение в первое уравнение: [ (y + 1)^2 + y^2 = 25 ]

3. Раскроем скобки и упростим: [ y^2 + 2y + 1 + y^2 = 25 ] [ 2y^2 + 2y + 1 = 25 ]

4. Перенесем все на одну сторону уравнения: [ 2y^2 + 2y + 1 - 25 = 0 ] [ 2y^2 + 2y - 24 = 0 ]

5. Разделим уравнение на 2 для упрощения: [ y^2 + y - 12 = 0 ]

6. Решим полученное квадратное уравнение методом разложения на множители или используя формулу квадратного уравнения: [ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ] где ( a = 1 ), ( b = 1 ), ( c = -12 ).

[ y = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2} ] [ y = \frac{-1 \pm \sqrt{49}}{2} ] [ y = \frac{-1 \pm 7}{2} ]

Получаем два значения для (y): [ y = \frac{6}{2} = 3 ] [ y = \frac{-8}{2} = -4 ]

1. Найдем соответствующие значения (x): Если ( y = 3 ), то ( x = y + 1 = 4 ). Если ( y = -4 ), то ( x = y + 1 = -3 ).

Следовательно, решения системы (а) будут: [ (x, y) = (4, 3) ] [ (x, y) = (-3, -4) ]

Система (б):

[ x^2 + y^2 = 16 ] [ x + y = 4 ]

1. Выразим (y) через (x) из второго уравнения: [ y = 4 - x ]

2. Подставим это выражение в первое уравнение: [ x^2 + (4 - x)^2 = 16 ]

3. Раскроем скобки и упростим: [ x^2 + (16 - 8x + x^2) = 16 ] [ x^2 + 16 - 8x + x^2 = 16 ] [ 2x^2 - 8x + 16 = 16 ]

4. Перенесем все на одну сторону уравнения: [ 2x^2 - 8x + 16 - 16 = 0 ] [ 2x^2 - 8x = 0 ]

5. Вынесем общий множитель за скобки: [ 2x(x - 4) = 0 ]

6. Решим полученное уравнение: [ 2x = 0 \quad \text{или} \quad x - 4 = 0 ] [ x = 0 \quad \text{или} \quad x = 4 ]

7. Найдем соответствующие значения (y): Если ( x = 0 ), то ( y = 4 - 0 = 4 ). Если ( x = 4 ), то ( y = 4 - 4 = 0 ).

Следовательно, решения системы (б) будут: [ (x, y) = (0, 4) ] [ (x, y) = (4, 0) ]

Таким образом, мы решили обе системы уравнений методом подстановки.

a) Для решения системы уравнений методом подстановки в первом уравнении выразим одну из переменных через другую. Из второго уравнения x = y + 1. Подставим это выражение в первое уравнение: (y + 1)^2 + y^2 = 25. Раскроем скобки: y^2 + 2y + 1 + y^2 = 25. Получаем уравнение: 2y^2 + 2y - 24 = 0. Решив квадратное уравнение, найдем значения переменных y1 = 3 и y2 = -4. Подставим их в уравнение x = y + 1: x1 = 4 и x2 = -3. Итак, система имеет два решения: (4, 3) и (-3, -4).

б) Аналогично выразим одну из переменных через другую. Из второго уравнения x = 4 - y. Подставим это выражение в первое уравнение: (4 - y)^2 + y^2 = 16. Раскрываем скобки: 16 - 8y + y^2 + y^2 = 16. Упрощаем уравнение: 2y^2 - 8y = 0. Получаем y(y - 4) = 0, y1 = 0 и y2 = 4. Подставим их в уравнение x = 4 - y: x1 = 4 и x2 = 0. Итак, система имеет два решения: (4, 0) и (0, 4).