Помогите пожалуйста, Исследовать график с помощью производной: y=3x^2-x^3

Для исследования графика функции ( y = 3x^2 - x^3 ) с помощью производной, необходимо выполнить несколько шагов:

1. Найти первую производную функции ( y ): Первая производная функции ( y ) даст нам информацию о росте и убывании функции, а также поможет определить критические точки.

   [ y = 3x^2 - x^3 ]

   [ y' = \frac{d}{dx}(3x^2 - x^3) ]

   Используя правила дифференцирования (правило суммы и степенное правило), получаем:

   [ y' = 6x - 3x^2 ]

2. Найти критические точки: Критические точки находятся там, где первая производная равна нулю или не существует. В данном случае, мы решаем уравнение ( y' = 0 ):

   [ 6x - 3x^2 = 0 ]

   Вынесем общий множитель ( 3x ) за скобки:

   [ 3x(2 - x) = 0 ]

   Уравнение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

   [ 3x = 0 \quad \text{или} \quad 2 - x = 0 ]

   Решая эти уравнения, получаем критические точки:

   [ x = 0 \quad \text{и} \quad x = 2 ]

3. Исследовать знаки первой производной для определения интервалов возрастания и убывания: Чтобы определить интервалы возрастания и убывания функции, исследуем знаки производной ( y' ) на интервалах, которые определяются критическими точками ( x = 0 ) и ( x = 2 ).

   Рассмотрим интервалы:

   • ( (-\infty, 0) )
   • ( (0, 2) )
   • ( (2, \infty) )

   Подставим значения ( x ) из каждого интервала в ( y' ) и определим знак производной:

   • Для ( x = -1 ) (интервал ( (-\infty, 0) )): [ y'(-1) = 6(-1) - 3(-1)^2 = -6 - 3 = -9 \quad (\text{отрицательно}) ]

   • Для ( x = 1 ) (интервал ( (0, 2) )): [ y'(1) = 6(1) - 3(1)^2 = 6 - 3 = 3 \quad (\text{положительно}) ]

   • Для ( x = 3 ) (интервал ( (2, \infty) )): [ y'(3) = 6(3) - 3(3)^2 = 18 - 27 = -9 \quad (\text{отрицательно}) ]

   Таким образом, мы имеем:

   • На интервале ( (-\infty, 0) ) функция убывает (( y' < 0 )).
   • На интервале ( (0, 2) ) функция возрастает (( y' > 0 )).
   • На интервале ( (2, \infty) ) функция снова убывает (( y' < 0 )).

4. Найти вторую производную функции ( y ): Вторая производная поможет нам определить точки перегиба и исследовать выпуклость и вогнутость графика.

   [ y' = 6x - 3x^2 ]

   [ y'' = \frac{d}{dx}(6x - 3x^2) ]

   [ y'' = 6 - 6x ]

5. Найти точки перегиба: Точки перегиба находятся там, где вторая производная равна нулю или не существует:

   [ y'' = 0 ]

   [ 6 - 6x = 0 ]

   [ x = 1 ]

6. Исследовать знаки второй производной для определения выпуклости и вогнутости: Рассмотрим интервалы:

   • ( (-\infty, 1) )
   • ( (1, \infty) )

   Подставим значения ( x ) из каждого интервала в ( y'' ) и определим знак второй производной:

   • Для ( x = 0 ) (интервал ( (-\infty, 1) )): [ y''(0) = 6 - 6(0) = 6 \quad (\text{положительно}) ]

   • Для ( x = 2 ) (интервал ( (1, \infty) )): [ y''(2) = 6 - 6(2) = 6 - 12 = -6 \quad (\text{отрицательно}) ]

   Таким образом, мы имеем:

   • На интервале ( (-\infty, 1) ) график выпуклый (( y'' > 0 )).
   • На интервале ( (1, \infty) ) график вогнутый (( y'' < 0 )).

7. Составить общее представление о графике функции:

   • Критические точки: ( x = 0 ) и ( x = 2 ).
   • Интервалы возрастания: ( (0, 2) ).
   • Интервалы убывания: ( (-\infty, 0) ) и ( (2, \infty) ).
   • Точка перегиба: ( x = 1 ).
   • Интервалы выпуклости: ( (-\infty, 1) ).
   • Интервалы вогнутости: ( (1, \infty) ).

На основании этих данных можно построить график функции ( y = 3x^2 - x^3 ). Он будет иметь точку перегиба в ( x = 1 ), а точки ( x = 0 ) и ( x = 2 ) будут экстремумами: при ( x = 0 ) это минимум, а при ( x = 2 ) это максимум.

Для исследования графика функции y=3x^2-x^3 с помощью производной необходимо найти производную функции и проанализировать ее значения в различных точках.

Для исследования графика функции y=3x^2-x^3 с помощью производной, сначала найдем производную этой функции. Для этого возьмем производную каждого слагаемого по отдельности:

1. Производная первого слагаемого 3x^2 будет равна 6x.
2. Производная второго слагаемого -x^3 будет равна -3x^2.

Теперь сложим полученные производные:

y' = 6x - 3x^2.

Полученная производная y' показывает нам, как меняется наклон касательной к графику функции y=3x^2-x^3 в зависимости от значения x.

Чтобы исследовать график функции с помощью производной, необходимо найти точки экстремума (максимума и минимума) функции. Для этого приравняем производную к нулю и найдем значения x:

6x - 3x^2 = 0, 3x(2 - x) = 0, x = 0 или x = 2.

Таким образом, точки экстремума функции находятся в точках x=0 и x=2.

Далее, можно проанализировать поведение функции в окрестности точек экстремума, используя вторую производную или знак производной y' в окрестности точек.

Таким образом, исследование графика функции y=3x^2-x^3 с помощью производной позволяет нам понять его поведение, найти точки экстремума и проанализировать кривизну графика в различных точках.