Помогите пожалуйста, Исследовать график с помощью производной: y=3x^2-x^3

Для исследования графика функции $y=3x^2-x^3$ с помощью производной, необходимо выполнить несколько шагов:

1. Найти первую производную функции $y$: Первая производная функции $y$ даст нам информацию о росте и убывании функции, а также поможет определить критические точки.

   $y=3x^2-x^3$

   $y^{\prime }=\frac{d}{dx}(3x^2-x^3)$

   Используя правила дифференцирования $правилосуммыистепенноеправило$, получаем:

   $y^{\prime }=6x-3x^2$

2. Найти критические точки: Критические точки находятся там, где первая производная равна нулю или не существует. В данном случае, мы решаем уравнение $y^{\prime }=0$:

   $6x-3x^2=0$

   Вынесем общий множитель $3x$ за скобки:

   $3x(2-x)=0$

   Уравнение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

   $3x=0\text{или}2-x=0$

   Решая эти уравнения, получаем критические точки:

   $x=0\text{и}x=2$

3. Исследовать знаки первой производной для определения интервалов возрастания и убывания: Чтобы определить интервалы возрастания и убывания функции, исследуем знаки производной $y^{\prime }$ на интервалах, которые определяются критическими точками $x=0$ и $x=2$.

   Рассмотрим интервалы:

   • $(-\mathrm{\infty },0$ )
   • $(0,2$ )
   • $(2,\mathrm{\infty }$ )

   Подставим значения $x$ из каждого интервала в $y^{\prime }$ и определим знак производной:

   • Для $x=-1$ $интервал((-\mathrm{\infty },0$ )): $y^{\prime }(-1)=6(-1)-3(-1{)}^2=-6-3=-9(\text{отрицательно})$

   • Для $x=1$ $интервал((0,2$ )): $y^{\prime }(1)=6(1)-3(1{)}^2=6-3=3(\text{положительно})$

   • Для $x=3$ $интервал((2,\mathrm{\infty }$ )): $y^{\prime }(3)=6(3)-3(3{)}^2=18-27=-9(\text{отрицательно})$

   Таким образом, мы имеем:

   • На интервале $(-\mathrm{\infty },0$ ) функция убывает $(y^{\prime }<0$).
   • На интервале $(0,2$ ) функция возрастает $(y^{\prime }>0$).
   • На интервале $(2,\mathrm{\infty }$ ) функция снова убывает $(y^{\prime }<0$).

4. Найти вторую производную функции $y$: Вторая производная поможет нам определить точки перегиба и исследовать выпуклость и вогнутость графика.

   $y^{\prime }=6x-3x^2$

   $y^{″}=\frac{d}{dx}(6x-3x^2)$

   $y^{″}=6-6x$

5. Найти точки перегиба: Точки перегиба находятся там, где вторая производная равна нулю или не существует:

   $y^{″}=0$

   $6-6x=0$

   $x=1$

6. Исследовать знаки второй производной для определения выпуклости и вогнутости: Рассмотрим интервалы:

   • $(-\mathrm{\infty },1$ )
   • $(1,\mathrm{\infty }$ )

   Подставим значения $x$ из каждого интервала в $y^{″}$ и определим знак второй производной:

   • Для $x=0$ $интервал((-\mathrm{\infty },1$ )): $y^{″}(0)=6-6(0)=6(\text{положительно})$

   • Для $x=2$ $интервал((1,\mathrm{\infty }$ )): $y^{″}(2)=6-6(2)=6-12=-6(\text{отрицательно})$

   Таким образом, мы имеем:

   • На интервале $(-\mathrm{\infty },1$ ) график выпуклый $(y^{″}>0$).
   • На интервале $(1,\mathrm{\infty }$ ) график вогнутый $(y^{″}<0$).

7. Составить общее представление о графике функции:

   • Критические точки: $x=0$ и $x=2$.
   • Интервалы возрастания: $(0,2$ ).
   • Интервалы убывания: $(-\mathrm{\infty },0$ ) и $(2,\mathrm{\infty }$ ).
   • Точка перегиба: $x=1$.
   • Интервалы выпуклости: $(-\mathrm{\infty },1$ ).
   • Интервалы вогнутости: $(1,\mathrm{\infty }$ ).

На основании этих данных можно построить график функции $y=3x^2-x^3$. Он будет иметь точку перегиба в $x=1$, а точки $x=0$ и $x=2$ будут экстремумами: при $x=0$ это минимум, а при $x=2$ это максимум.

Для исследования графика функции y=3x^2-x^3 с помощью производной необходимо найти производную функции и проанализировать ее значения в различных точках.

Для исследования графика функции y=3x^2-x^3 с помощью производной, сначала найдем производную этой функции. Для этого возьмем производную каждого слагаемого по отдельности:

1. Производная первого слагаемого 3x^2 будет равна 6x.
2. Производная второго слагаемого -x^3 будет равна -3x^2.

Теперь сложим полученные производные:

y' = 6x - 3x^2.

Полученная производная y' показывает нам, как меняется наклон касательной к графику функции y=3x^2-x^3 в зависимости от значения x.

Чтобы исследовать график функции с помощью производной, необходимо найти точки экстремума $максимумаиминимума$ функции. Для этого приравняем производную к нулю и найдем значения x:

6x - 3x^2 = 0, 3x$2-x$ = 0, x = 0 или x = 2.

Таким образом, точки экстремума функции находятся в точках x=0 и x=2.

Далее, можно проанализировать поведение функции в окрестности точек экстремума, используя вторую производную или знак производной y' в окрестности точек.

Таким образом, исследование графика функции y=3x^2-x^3 с помощью производной позволяет нам понять его поведение, найти точки экстремума и проанализировать кривизну графика в различных точках.