Площадь прямоугольного треугольника равна 242корней из 3. один из острых углов равен 30°. найдите длину...

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами прямоугольного треугольника и формулой площади.

Дано:

1. Площадь треугольника ( S = 242\sqrt{3} ),
2. Один из острых углов равен ( 30^\circ ),
3. Необходимо найти длину катета, лежащего напротив угла ( 30^\circ ).

Шаг 1. Свойства треугольника с углом ( 30^\circ )

В прямоугольном треугольнике, если один из острых углов равен ( 30^\circ ), то катет, лежащий напротив этого угла, равен половине гипотенузы. То есть, если гипотенуза обозначена через ( c ), то: [ a = \frac{c}{2}, ] где ( a ) — катет, лежащий напротив угла ( 30^\circ ).

Второй катет ( b ) можно выразить через гипотенузу ( c ) с помощью тригонометрической зависимости: [ b = \frac{\sqrt{3}}{2} c. ]

Шаг 2. Формула площади треугольника

Площадь прямоугольного треугольника выражается через два катета ( a ) и ( b ): [ S = \frac{1}{2} a b. ]

Подставим выражения для ( a ) и ( b ) через гипотенузу ( c ): [ a = \frac{c}{2}, \quad b = \frac{\sqrt{3}}{2} c. ]

Тогда площадь становится: [ S = \frac{1}{2} \cdot \frac{c}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} c. ]

Упростим это выражение: [ S = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} c^2 = \frac{\sqrt{3}}{8} c^2. ]

Шаг 3. Найдем гипотенузу ( c )

По условию, площадь ( S = 242\sqrt{3} ). Подставим это значение в формулу площади: [ \frac{\sqrt{3}}{8} c^2 = 242\sqrt{3}. ]

Упростим это уравнение. Сначала сократим на ( \sqrt{3} ): [ \frac{1}{8} c^2 = 242. ]

Умножим обе части уравнения на 8: [ c^2 = 1936. ]

Найдем ( c ) (гипотенузу): [ c = \sqrt{1936} = 44. ]

Шаг 4. Найдем катет ( a )

Катет ( a ), лежащий напротив угла ( 30^\circ ), равен половине гипотенузы: [ a = \frac{c}{2} = \frac{44}{2} = 22. ]

Ответ:

Длина катета, лежащего напротив угла ( 30^\circ ), равна 22.

Для решения задачи о нахождении длины катета прямоугольного треугольника, мы воспользуемся формулами для площади и свойствами треугольника.

Площадь прямоугольного треугольника можно выразить через длины его катетов (a) и (b) следующим образом:

[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b ]

Где (S) — площадь треугольника, (a) и (b) — длины катетов.

В данном случае площадь треугольника равна (242\sqrt{3}). Также нам известно, что один из острых углов треугольника равен (30^\circ). В прямоугольном треугольнике с углом (30^\circ) и (60^\circ), длины катетов соотносятся следующим образом:

• Катет, лежащий напротив угла (30^\circ) (обозначим его как (a)), равен половине длины гипотенузы (c): [ a = \frac{c}{2} ]
• Катет, лежащий напротив угла (60^\circ) (обозначим его как (b)), равен (\frac{\sqrt{3}}{2}c): [ b = \frac{\sqrt{3}}{2}c ]

Теперь подставим (a) и (b) в формулу для площади:

[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{c}{2}\right) \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{2}c\right) ]

Упростим это выражение:

[ S = \frac{1}{2} \cdot \frac{c}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}c = \frac{\sqrt{3}}{8}c^2 ]

Теперь мы знаем, что площадь (S = 242\sqrt{3}), и можем приравнять два выражения для площади:

[ \frac{\sqrt{3}}{8}c^2 = 242\sqrt{3} ]

Теперь разделим обе стороны уравнения на (\sqrt{3}):

[ \frac{1}{8}c^2 = 242 ]

Умножим обе стороны на 8:

[ c^2 = 1936 ]

Теперь найдем (c):

[ c = \sqrt{1936} = 44 ]

Теперь мы можем найти длину катета (a), который лежит напротив угла (30^\circ):

[ a = \frac{c}{2} = \frac{44}{2} = 22 ]

Таким образом, длина катета, лежащего напротив угла (30^\circ), равна 22.