Петя хочет написать на доске 55 различных двузначных чисел так, чтобы среди них не было двух чисел,...

Давайте разберем задачу подробно.

1. Двузначные числа — это числа от 10 до 99 включительно. Всего таких чисел:
   [ 99 - 10 + 1 = 90. ] Петя хочет выбрать из них 55 чисел так, чтобы среди них не было двух чисел, сумма которых равна 100.

2. Парные числа, дающие в сумме 100.
   Рассмотрим все пары двузначных чисел, которые в сумме дают 100. Если ( x ) — одно число из пары, то второе число будет ( 100 - x ). Проверим, какие пары возможны:
   [ (10, 90), (11, 89), (12, 88), \dots, (49, 51). ] Последняя пара — ( (49, 51) ), потому что следующий кандидат ( 50 ) и ( 100 - 50 = 50 ), что дает одно и то же число, а числа в паре должны быть различными.
   Таким образом, всего существует ( 40 ) таких пар чисел (от ( 10+90 ) до ( 49+51 )).

3. Особенность пар.
   Если Петя выберет одно число из пары ( (x, 100 - x) ), то второе число из этой пары он выбрать уже не может, иначе их сумма будет равна 100.

4. Максимальное количество чисел, которые можно выбрать.
   Всего двузначных чисел — 90. Если мы выбираем только одно число из каждой пары, то из 40 пар можно выбрать максимум 40 чисел. Остаются также 10 чисел, которые не входят ни в одну из пар: [ 50, 51, 52, \dots, 59. ] Эти числа не образуют пары, так как сумма любых двух из них не равна 100. Их можно добавить к выбранным числам.

   Значит, максимальное количество чисел, которое можно выбрать, не нарушая условия задачи, равно: [ 40 + 10 = 50. ]

5. Вывод.
   Петя хочет выбрать 55 чисел, но мы показали, что максимум можно выбрать лишь 50 чисел, чтобы среди них не было двух чисел, дающих в сумме 100. Следовательно, Петя не сможет написать на доске 55 различных двузначных чисел с таким ограничением.

Нет, Петя не сможет написать 55 различных двузначных чисел без двух чисел, сумма которых равна 100. Двузначные числа варьируются от 10 до 99, и для каждого числа ( x ) из диапазона 10-99 существует ровно одно число ( 100 - x ), которое также является двузначным. Это создает пары чисел, которые в сумме дают 100. В диапазоне 10-99 существует всего 45 двузначных чисел, следовательно, Петя может выбрать лишь 45 чисел, избегая таких пар.

Для решения задачи необходимо определить, какие двузначные числа могут давать в сумме 100. Двузначные числа находятся в диапазоне от 10 до 99. Рассмотрим, каковы пары чисел, сумма которых равна 100:

• 10 и 90
• 11 и 89
• 12 и 88
• 13 и 87
• 14 и 86
• 15 и 85
• 16 и 84
• 17 и 83
• 18 и 82
• 19 и 81
• 20 и 80
• 21 и 79
• 22 и 78
• 23 и 77
• 24 и 76
• 25 и 75
• 26 и 74
• 27 и 73
• 28 и 72
• 29 и 71
• 30 и 70
• 31 и 69
• 32 и 68
• 33 и 67
• 34 и 66
• 35 и 65
• 36 и 64
• 37 и 63
• 38 и 62
• 39 и 61
• 40 и 60
• 41 и 59
• 42 и 58
• 43 и 57
• 44 и 56
• 45 и 55
• 46 и 54
• 47 и 53
• 48 и 52
• 49 и 51
• 50

Каждой паре из этих чисел соответствует одно двузначное число. Например, если мы выберем число 10, то 90 не может быть выбрано, и так далее для других пар. Таким образом, у нас есть 45 пар чисел (от 10 до 49), а также число 50, которое не имеет пары, так как 50 + 50 = 100.

Таким образом, мы можем выбрать по одному числу из каждой пары (например, можно взять 10, 11, 12 и так далее до 49) и добавить к этому числу 50:

• 10
• 11
• 12
• 13
• 14
• 15
• 16
• 17
• 18
• 19
• 20
• 21
• 22
• 23
• 24
• 25
• 26
• 27
• 28
• 29
• 30
• 31
• 32
• 33
• 34
• 35
• 36
• 37
• 38
• 39
• 40
• 41
• 42
• 43
• 44
• 45
• 46
• 47
• 48
• 49
• 50

Таким образом, мы можем выбрать 46 чисел (по одному из 45 пар и число 50). Чтобы выполнить условие задачи и выбрать 55 различных чисел, Петя не сможет этого сделать, так как максимальное количество чисел, которые он может написать на доске, составляет 46.

Следовательно, ответ на вопрос: Нет, Петя не сможет написать 55 различных двузначных чисел, чтобы среди них не было двух чисел, дающих в сумме 100.