Периметр прямоугольного треугольника равен 70 см,а его гипотенуза 29 см.Найти ПЛОЩАДЬ треугольника....

Да, это реально. Чтобы найти площадь прямоугольного треугольника, воспользуемся формулой:

[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b ]

где ( a ) и ( b ) — катеты треугольника.

Сначала найдем катеты. Периметр треугольника равен сумме всех его сторон:

[ a + b + c = 70 ]

где ( c = 29 ) см (гипотенуза). Подставим значение гипотенузы:

[ a + b + 29 = 70 ] [ a + b = 41 ]

Теперь используем теорему Пифагора:

[ a^2 + b^2 = c^2 ] [ a^2 + b^2 = 29^2 = 841 ]

Теперь у нас есть система уравнений:

1. ( a + b = 41 )
2. ( a^2 + b^2 = 841 )

Из первого уравнения выразим ( b ):

[ b = 41 - a ]

Подставим это во второе уравнение:

[ a^2 + (41 - a)^2 = 841 ]

Раскроем скобки:

[ a^2 + 1681 - 82a + a^2 = 841 ] [ 2a^2 - 82a + 840 = 0 ]

Упростим уравнение:

[ a^2 - 41a + 420 = 0 ]

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

[ D = (-41)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 420 = 1681 - 1680 = 1 ]

Корни уравнения:

[ a = \frac{41 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{41 \pm 1}{2} ]

Таким образом, получаем:

1. ( a = 21 ) и ( b = 20 )
2. ( a = 20 ) и ( b = 21 )

Теперь найдем площадь:

[ S = \frac{1}{2} \cdot 21 \cdot 20 = 210 \, \text{см}^2 ]

Ответ: площадь треугольника равна 210 см².

Да, давайте разберёмся с этой задачей. Мы знаем, что периметр прямоугольного треугольника равен 70 см, а гипотенуза составляет 29 см. Нам нужно найти площадь этого треугольника.

Обозначим стороны треугольника следующим образом:

• ( a ) и ( b ) — катеты,
• ( c = 29 ) см — гипотенуза.

Сначала запишем уравнение для периметра: [ a + b + c = 70 ] Подставим значение гипотенузы: [ a + b + 29 = 70 ] Теперь выразим сумму катетов: [ a + b = 70 - 29 = 41 ]

Теперь у нас есть два уравнения:

1. ( a + b = 41 )
2. ( c^2 = a^2 + b^2 ) (по теореме Пифагора)

Подставим значение гипотенузы в уравнение Пифагора: [ 29^2 = a^2 + b^2 ] Это даёт: [ 841 = a^2 + b^2 ]

Теперь мы можем выразить ( b ) через ( a ): [ b = 41 - a ]

Подставим это выражение для ( b ) в уравнение Пифагора: [ 841 = a^2 + (41 - a)^2 ] Раскроем скобки: [ 841 = a^2 + (41^2 - 82a + a^2) ] [ 841 = 2a^2 - 82a + 1681 ] Теперь упростим уравнение: [ 2a^2 - 82a + 1681 - 841 = 0 ] [ 2a^2 - 82a + 840 = 0 ] Теперь разделим всё на 2: [ a^2 - 41a + 420 = 0 ]

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта: [ D = b^2 - 4ac = (-41)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 420 = 1681 - 1680 = 1 ]

Так как дискриминант положителен, у нас два решения: [ a = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{41 \pm 1}{2} ] Это даёт два значения для ( a ): [ a_1 = \frac{42}{2} = 21, \quad a_2 = \frac{40}{2} = 20 ]

Теперь найдём ( b ): Если ( a = 21 ), то: [ b = 41 - 21 = 20 ]

Если ( a = 20 ), то: [ b = 41 - 20 = 21 ]

Таким образом, катеты ( a ) и ( b ) равны 20 см и 21 см.

Теперь можем найти площадь треугольника. Площадь ( S ) прямоугольного треугольника рассчитывается по формуле: [ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b ] Подставим найденные значения ( a ) и ( b ): [ S = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 21 = 210 \text{ см}^2 ]

Таким образом, площадь прямоугольного треугольника составляет 210 см². Это вполне реально, и все вычисления подтверждают правильность решения.

Давай разберёмся с задачей и посмотрим, можно ли её решить.

Условие:

1. Прямоугольный треугольник.
2. Периметр треугольника равен ( P = 70 ) см.
3. Гипотенуза ( c = 29 ) см.
4. Нужно найти площадь треугольника.

Шаг 1: Формулы и обозначения

Обозначим стороны прямоугольного треугольника:

• ( a ) и ( b ) — катеты,
• ( c ) — гипотенуза.

Для прямоугольного треугольника выполняются следующие условия:

1. Периметр: ( a + b + c = 70 ),
2. Теорема Пифагора: ( a^2 + b^2 = c^2 ).

Подставим ( c = 29 ) в первую формулу: [ a + b + 29 = 70 \quad \Rightarrow \quad a + b = 41. \tag{1} ]

Шаг 2: Решение системы уравнений

Теперь у нас две основные зависимости:

1. ( a + b = 41, )
2. ( a^2 + b^2 = 29^2 = 841. )

Из первого уравнения выразим ( b ) через ( a ): [ b = 41 - a. \tag{2} ]

Подставим это значение ( b ) во второе уравнение: [ a^2 + (41 - a)^2 = 841. ]

Раскроем скобки: [ a^2 + (41 - a)^2 = a^2 + (41^2 - 2 \cdot 41 \cdot a + a^2) = a^2 + 1681 - 82a + a^2. ]

Упростим: [ 2a^2 - 82a + 1681 = 841. ]

Приведём все слагаемые в одну сторону: [ 2a^2 - 82a + 840 = 0. ]

Разделим уравнение на 2, чтобы упростить: [ a^2 - 41a + 420 = 0. \tag{3} ]

Шаг 3: Решение квадратного уравнения

Решим уравнение ( a^2 - 41a + 420 = 0 ) с помощью дискриминанта: [ D = b^2 - 4ac = (-41)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 420 = 1681 - 1680 = 1. ]

Найдём корни: [ a_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{41 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{41 \pm 1}{2}. ]

Получаем два корня: [ a_1 = \frac{41 + 1}{2} = 21, \quad a_2 = \frac{41 - 1}{2} = 20. ]

Соответственно, если ( a = 21 ), то ( b = 41 - 21 = 20 ), и наоборот.

Шаг 4: Проверка

Подставим ( a = 21 ) и ( b = 20 ) в теорему Пифагора: [ a^2 + b^2 = 21^2 + 20^2 = 441 + 400 = 841. ] Совпадает с ( c^2 = 29^2 = 841 ). Всё верно.

Шаг 5: Найдём площадь

Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле: [ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b. ] Подставим ( a = 21 ) и ( b = 20 ): [ S = \frac{1}{2} \cdot 21 \cdot 20 = \frac{1}{2} \cdot 420 = 210 \, \text{см}^2. ]

Ответ:

Площадь треугольника равна ( \mathbf{210~\text{см}^2} ). Задача решаема!