Отношение площадей вписанного и описанного кругов правильного многоугольника равно 0,75,а периметр многоугольника...

Для решения данной задачи нам необходимо воспользоваться формулами, связанными с правильными многоугольниками и окружностями.

Пусть n - количество углов правильного многоугольника, r - радиус вписанной окружности, R - радиус описанной окружности.

Известно, что отношение площадей вписанного и описанного кругов равно 0,75:

Sвп / Sоп = 0,75

Sвп = n r^2 tan$180°/n$ / 2 Sоп = n R^2 tan$180°/n$ / 2

Также дано, что периметр многоугольника равен 12 см:

P = n 2 R * sin$180°/n$

Из данных уравнений можно составить систему уравнений и методом проб и ошибок найти количество углов n, радиус вписанной окружности r и радиус описанной окружности R.

Надеюсь, данное объяснение поможет вам решить задачу. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать их.

Чтобы решить эту задачу, давайте разберем ее по шагам.

Шаг 1: Понимание задачи

У нас есть правильный многоугольник с периметром 12 см. Мы знаем, что отношение площадей вписанного и описанного кругов равно 0,75. Нужно найти количество углов многоугольника $n$, радиус вписанного круга $r$ и радиус описанного круга $R$.

Шаг 2: Формулы для площадей кругов

1. Площадь вписанного круга:
   $S_{\text{вп}}=\pi r^2$

2. Площадь описанного круга:
   $S_{\text{опис}}=\pi R^2$

По условию задачи:
[ \frac{S{\text{вп}}}{S{\text{опис}}} = \frac{r^2}{R^2} = 0,75 ]

Отсюда следует:
$\frac{r}{R}=\sqrt{0,75}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

Шаг 3: Связь между r, R и n

Для правильного многоугольника со стороной a, радиус вписанного круга r и радиус описанного круга R связаны следующим образом:

• Радиус вписанного круга:
  $r=\frac{a}{2}\cdot \cot \left(\frac{\pi }{n}\right)$

• Радиус описанного круга:
  $R=\frac{a}{2}\cdot \csc \left(\frac{\pi }{n}\right)$

Отношение радиусов:
$\frac{r}{R}=\cot \left(\frac{\pi }{n}\right)\cdot \sin \left(\frac{\pi }{n}\right)=\cos \left(\frac{\pi }{n}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$

Шаг 4: Решение уравнения для n

Теперь решаем уравнение:
$\cos \left(\frac{\pi }{n}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$

Это значение косинуса соответствует углу $\frac{\pi }{6}$, поэтому:
$\frac{\pi }{n}=\frac{\pi }{6}$

Отсюда находим n:
$n=6$

Шаг 5: Найдем r и R

Теперь, когда мы знаем, что это правильный шестиугольник $гексагон$, можем найти r и R.

• Длина стороны a шестиугольника:
  $a=\frac{12}{6}=2\text{см}$

• Радиус вписанного круга r $дляшестиугольника$:
  $r=\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}\text{см}$

• Радиус описанного круга R $дляшестиугольника$:
  $R=a=2\text{см}$

Ответ

Количество углов многоугольника: $n=6$
Радиус вписанного круга: $r=\sqrt{3}\text{см}$
Радиус описанного круга: $R=2\text{см}$