Основание прямой призмы - прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4 см. Площадь полной поверхности призмы равна 120 см^2. Найдите объем призмы.
Основание прямой призмы - прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4 см. Площадь полной поверхности призмы равна 120 см^2. Найдите объем призмы.
Для решения задачи о нахождении объема прямой призмы с заданной площадью полной поверхности, начнем с анализа параметров, связанных с этой призмой.
Основание призмы: Основание призмы — это прямоугольный треугольник с катетами 3 см и 4 см. Площадь этого треугольника вычисляется как: [ S_{\text{осн}} = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6 \, \text{см}^2. ]
Гипотенуза треугольника: Используем теорему Пифагора для нахождения гипотенузы: [ c = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \, \text{см}. ]
Площадь боковой поверхности призмы: Обозначим высоту призмы через ( h ). Поскольку призма прямая, площадь боковой поверхности будет равна периметру основания, умноженному на высоту: [ P{\text{осн}} = 3 + 4 + 5 = 12 \, \text{см}, ] [ S{\text{бок}} = P_{\text{осн}} \times h = 12h \, \text{см}^2. ]
Полная площадь поверхности призмы: Полная площадь поверхности призмы складывается из площади двух оснований и боковой поверхности: [ S{\text{полн}} = 2S{\text{осн}} + S_{\text{бок}} = 2 \times 6 + 12h = 12 + 12h. ] По условию, полная площадь поверхности равна 120 см²: [ 12 + 12h = 120. ]
Решаем уравнение для высоты ( h ): [ 12h = 120 - 12, ] [ 12h = 108, ] [ h = \frac{108}{12} = 9 \, \text{см}. ]
Нахождение объема призмы: Объем призмы равен произведению площади основания на высоту: [ V = S_{\text{осн}} \times h = 6 \times 9 = 54 \, \text{см}^3. ]
Таким образом, объем данной призмы составляет 54 см³.
Для начала найдем площадь основания прямой призмы, которая является прямоугольным треугольником. Площадь такого треугольника равна S = (a b) / 2, где a и b - катеты. Подставляя значения, получаем S = (3 4) / 2 = 6 см^2.
Теперь найдем площадь боковой поверхности призмы. Поскольку это прямоугольный треугольник, то одна из сторон боковой поверхности равна гипотенузе треугольника, которая равна sqrt(3^2 + 4^2) = 5 см. Площадь боковой поверхности равна Sб = П a l, где a - основание, l - образующая (гипотенуза). Подставляя значения, получаем Sб = 2 5 6 = 60 см^2.
Общая площадь поверхности призмы равна Sп = Sос + Sб, где Sос - площадь основания, Sб - площадь боковой поверхности. Подставляя значения, получаем Sп = 6 + 60 = 120 см^2.
Наконец, объем призмы V = Sос h, где h - высота призмы. Подставляя значения, получаем V = 6 h = 120, откуда h = 20 см.
Итак, объем призмы равен V = Sос h = 6 20 = 120 см^3.
