Осевым сечением конуса является равносторонний треугольник со стороной 6 см. Найти площкдь полной поверхности...

Площадь полной поверхности конуса: S = πr(l + r), где r - радиус основания, l - образующая. Объем конуса: V = (1/3)πr^2h, где h - высота конуса.

Дано, что осевым сечением конуса является равносторонний треугольник со стороной 6 см. Это значит, что r = 3 см и l = 6 см.

Площадь полной поверхности: S = π3(6 + 3) = 9π(3 + 1) = 36π см^2

Объем конуса: V = (1/3)π3^2*h = 3πh см^3

Ответ: Площадь полной поверхности конуса - 36π см^2, объем конуса - 3πh см^3.

Для того чтобы найти площадь полной поверхности конуса, нужно сложить площадь основания, площадь боковой поверхности и площадь основания.

1. Найдем площадь основания, которое является равносторонним треугольником со стороной 6 см. Формула площади равностороннего треугольника: ( S = \frac{\sqrt{3}}{4} \times a^2 ), где ( a ) - длина стороны. Подставляем значение стороны: ( S = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 6^2 = 9\sqrt{3} ) см².

2. Найдем площадь боковой поверхности конуса. Для равностороннего треугольника, высота равна ( h = \frac{\sqrt{3}}{2} \times a ). Площадь боковой поверхности конуса: ( S{бок} = \pi \times r \times l ), где ( r ) - радиус основания, ( l ) - образующая конуса. Радиус основания равен половине длины стороны равностороннего треугольника: ( r = \frac{a}{2} = 3 ) см. Образующая конуса ( l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{3^2 + (3\sqrt{3})^2} = 3\sqrt{3} ) см. Тогда ( S{бок} = \pi \times 3 \times 3\sqrt{3} = 9\pi\sqrt{3} ) см².

3. Наконец, для площади полной поверхности конуса суммируем площадь основания, площадь боковой поверхности и площадь основания: ( S_{полн} = 9\sqrt{3} + 9\pi\sqrt{3} = 9(1 + \pi)\sqrt{3} ) см².

4. Найдем объем конуса. Формула объема конуса: ( V = \frac{1}{3} \times S{осн} \times h ), где ( S{осн} ) - площадь основания, ( h ) - высота конуса. Подставляем известные значения: ( V = \frac{1}{3} \times 9\sqrt{3} \times 3\sqrt{3} = 27\sqrt{3} ) см³.

Таким образом, площадь полной поверхности конуса составляет ( 9(1 + \pi)\sqrt{3} ) см², а объем конуса равен ( 27\sqrt{3} ) см³.

Для решения этой задачи нужно учитывать несколько ключевых моментов, связанных с конусом и его геометрическими свойствами.

1. Осевое сечение конуса — это сечение, проходящее через его вершину и ось симметрии. В данном случае осевое сечение представляет собой равносторонний треугольник со стороной 6 см.

Шаг 1: Найдем высоту треугольника и радиус основания конуса

Рассмотрим равносторонний треугольник. Высота (h) равностороннего треугольника делится медианой на два прямоугольных треугольника. В каждом из этих прямоугольных треугольников катеты равны половине стороны треугольника и высоте, а гипотенуза равна стороне треугольника.

Для равностороннего треугольника со стороной 6 см высота вычисляется по формуле:

[ h = \sqrt{a^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{6^2 - 3^2} = \sqrt{36 - 9} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3} \, \text{см} ]

Эта высота треугольника делит его на два прямоугольных треугольника, каждый из которых имеет катеты (3 \, \text{см}) и (3\sqrt{3} \, \text{см}).

Шаг 2: Найдем радиус основания конуса и высоту конуса

Высота конуса совпадает с высотой треугольника, равной (3\sqrt{3} \, \text{см}).

Радиус основания конуса (R) можно найти как половину стороны равностороннего треугольника:

[ R = \frac{6}{2} = 3 \, \text{см} ]

Шаг 3: Найдем образующую конуса

Образующая (l) конуса является гипотенузой в прямоугольном треугольнике, где катеты — высота конуса и радиус основания. Используя теорему Пифагора:

[ l = \sqrt{h^2 + R^2} = \sqrt{(3\sqrt{3})^2 + 3^2} = \sqrt{27 + 9} = \sqrt{36} = 6 \, \text{см} ]

Шаг 4: Найдем площадь полной поверхности конуса

Площадь полной поверхности конуса (S) состоит из площади основания (S{\text{осн}}) и площади боковой поверхности (S{\text{бок}}).

Площадь основания:

[ S_{\text{осн}} = \pi R^2 = \pi \cdot 3^2 = 9\pi \, \text{см}^2 ]

Площадь боковой поверхности:

[ S_{\text{бок}} = \pi R l = \pi \cdot 3 \cdot 6 = 18\pi \, \text{см}^2 ]

Площадь полной поверхности:

[ S = S{\text{осн}} + S{\text{бок}} = 9\pi + 18\pi = 27\pi \, \text{см}^2 ]

Шаг 5: Найдем объем конуса

Объем (V) конуса вычисляется по формуле:

[ V = \frac{1}{3} \pi R^2 h = \frac{1}{3} \pi \cdot 3^2 \cdot 3\sqrt{3} = \frac{1}{3} \pi \cdot 9 \cdot 3\sqrt{3} = \frac{1}{3} \cdot 27\pi\sqrt{3} = 9\pi\sqrt{3} \, \text{см}^3 ]

Итоговые результаты

• Площадь полной поверхности конуса: ( 27\pi \, \text{см}^2 )
• Объем конуса: ( 9\pi\sqrt{3} \, \text{см}^3 )

Вот такие вычисления позволяют найти площадь полной поверхности и объем конуса, осевым сечением которого является равносторонний треугольник со стороной 6 см.