Образующая конуса составляет с плоскостью его основания угол в 30, а радиус основания конуса равен 6...

Для нахождения площади полной поверхности конуса нужно сначала найти боковую поверхность и основание.

Боковая поверхность конуса Sб вычисляется по формуле: Sб = π R l, где R - радиус основания конуса, l - образующая конуса.

Так как нам дано, что угол между образующей и плоскостью основания равен 30 градусов, то можем воспользоваться тригонометрическими функциями для нахождения длины образующей: l = R / cos(30°).

Подставляя известные значения, получаем: l = 6 / cos(30°) ≈ 6 / 0.866 ≈ 6.9282 см.

Теперь можем найти боковую поверхность конуса: Sб = π 6 6.9282 ≈ 130.8993 см².

Площадь основания конуса Sос вычисляется по формуле: Sос = π R² = π 6² = 36π см².

Итак, площадь полной поверхности конуса Sполная равна сумме боковой поверхности и основания: Sполная = Sб + Sос ≈ 130.8993 + 36π ≈ 242.6992 см².

Площадь полной поверхности конуса равна S = πr(l + r), где r - радиус основания, l - образующая конуса. l = r/sinα, где α - угол между образующей и плоскостью основания. l = 6/sin30° = 12 см. S = π 6 (12 + 6) = 216π см².

Для решения задачи о площади полной поверхности конуса, нам необходимо определить все необходимые составляющие конуса, включая радиус основания, высоту и длину образующей.

1. Радиус основания конуса ( r ) равен 6 см.

2. Угол между образующей и плоскостью основания ( \theta = 30^\circ ).

3. Длина образующей ( l ) и высота конуса ( h ).

Шаг 1: Найдем длину образующей ( l )

Образующая, радиус и высота конуса образуют прямоугольный треугольник. Мы можем использовать тригонометрические функции для определения длины образующей.

Поскольку угол между образующей и плоскостью основания равен ( 30^\circ ), мы можем использовать косинус угла для нахождения длины образующей: [ \cos(30^\circ) = \frac{r}{l} ]

Подставим известные значения: [ \cos(30^\circ) = \frac{6}{l} ] [ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{6}{l} ]

Теперь выразим ( l ): [ l = \frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{6 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{12}{\sqrt{3}} ]

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на ( \sqrt{3} ): [ l = \frac{12 \cdot \sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3} \text{ см} ]

Шаг 2: Найдем высоту конуса ( h )

Используем синус угла ( 30^\circ ): [ \sin(30^\circ) = \frac{h}{l} ]

Подставляем известные значения: [ \sin(30^\circ) = \frac{h}{4\sqrt{3}} ] [ \frac{1}{2} = \frac{h}{4\sqrt{3}} ]

Выразим ( h ): [ h = 4\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = 2\sqrt{3} \text{ см} ]

Шаг 3: Найдем площадь полной поверхности конуса

Площадь полной поверхности конуса ( S ) состоит из площади боковой поверхности ( S{\text{бок}} ) и площади основания ( S{\text{осн}} ).

Площадь основания: [ S_{\text{осн}} = \pi r^2 = \pi \cdot 6^2 = 36\pi \text{ см}^2 ]

Площадь боковой поверхности: [ S_{\text{бок}} = \pi r l = \pi \cdot 6 \cdot 4\sqrt{3} = 24\sqrt{3}\pi \text{ см}^2 ]

Полная площадь поверхности конуса: [ S = S{\text{бок}} + S{\text{осн}} = 24\sqrt{3}\pi + 36\pi = \pi (24\sqrt{3} + 36) \text{ см}^2 ]

Таким образом, площадь полной поверхности конуса составляет: [ \pi (24\sqrt{3} + 36) \text{ см}^2 ]