Обозначьте на числовой окружности точку, которая соответствует данному числу,и найдите ее декартовые...

2π - точка (1,0) 2π/3 - точка (-1/2, √3/2) 7π/6 - точка (-√3/2, -1/2)

Для того чтобы обозначить точки на числовой окружности, соответствующие данным углам, и найти их декартовые координаты, следуйте следующим шагам:

Числовая окружность

Числовая окружность — это окружность с радиусом 1, центр которой расположен в начале координат (в точке (0, 0)). Углы на числовой окружности измеряются в радианах, начиная от положительного направления оси абсцисс (оси (x)) и увеличиваясь против часовой стрелки.

Декартовые координаты

Координаты точки на числовой окружности с углом (\theta) могут быть найдены с использованием функций синуса и косинуса: [ x = \cos(\theta) ] [ y = \sin(\theta) ]

Теперь вычислим координаты для каждого из данных углов.

1. Угол (2\pi)

Расположение на числовой окружности:

Угол (2\pi) соответствует полному обороту вокруг числовой окружности и возвращению к исходной точке.

Координаты:

[ x = \cos(2\pi) = \cos(0) = 1 ] [ y = \sin(2\pi) = \sin(0) = 0 ] Таким образом, декартовые координаты точки: [ (1, 0) ]

2. Угол ( \frac{2\pi}{3} )

Расположение на числовой окружности:

Угол ( \frac{2\pi}{3} ) находится во второй четверти числовой окружности.

Координаты:

[ x = \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \cos\left(\pi - \frac{\pi}{3}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2} ] [ y = \sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \sin\left(\pi - \frac{\pi}{3}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} ] Таким образом, декартовые координаты точки: [ \left(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right) ]

3. Угол ( \frac{7\pi}{6} )

Расположение на числовой окружности:

Угол ( \frac{7\pi}{6} ) находится в третьей четверти числовой окружности.

Координаты:

[ x = \cos\left(\frac{7\pi}{6}\right) = \cos\left(\pi + \frac{\pi}{6}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2} ] [ y = \sin\left(\frac{7\pi}{6}\right) = \sin\left(\pi + \frac{\pi}{6}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2} ] Таким образом, декартовые координаты точки: [ \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2}\right) ]

Итог

Каждое число на числовой окружности имеет уникальные декартовые координаты, которые можно вычислить с помощью тригонометрических функций синуса и косинуса. Для углов (\theta = 2\pi), (\frac{2\pi}{3}), и (\frac{7\pi}{6}) декартовые координаты соответственно:

1. ( (1, 0) )
2. (\left(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right))
3. (\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2}\right))

Чтобы обозначить точку на числовой окружности, соответствующую данному числу, нужно использовать тригонометрическую форму представления комплексного числа. Для этого можно воспользоваться формулой Эйлера:

z = r(cosθ + i*sinθ),

где r - радиус окружности (обычно равен 1), θ - угол, соответствующий числу.

1. Для числа 2π угол θ = 2π. Тогда декартовы координаты точки будут (1, 0).

2. Для числа 2π/3 угол θ = 2π/3. Тогда декартовы координаты точки будут (cos(2π/3), sin(2π/3)), что равно (-1/2, √3/2).

3. Для числа 7π/6 угол θ = 7π/6. Тогда декартовы координаты точки будут (cos(7π/6), sin(7π/6)), что равно (-√3/2, -1/2).