Объём шара вписанного в цилиндр равен 12, найдите объём цилиндра.

Чтобы найти объём цилиндра, в который вписан шар с объёмом 12, сначала нужно воспользоваться формулами для объёмов шара и цилиндра.

1. Объём шара: Объём (V) шара радиуса (R) вычисляется по формуле: [ V = \frac{4}{3} \pi R^3 ] У нас дан объём шара (V = 12). Подставим это значение в формулу: [ \frac{4}{3} \pi R^3 = 12 ] Отсюда найдём радиус (R): [ \pi R^3 = 12 \times \frac{3}{4} = 9 ] [ R^3 = \frac{9}{\pi} ] [ R = \sqrt[3]{\frac{9}{\pi}} ]

2. Объём цилиндра: Цилиндр, в который вписан шар, будет иметь высоту, равную диаметру шара, то есть (2R), и радиус основания, равный (R).

   Объём (V{\text{цил}} ) цилиндра радиуса основания (R) и высоты (2R) вычисляется по формуле: [ V{\text{цил}} = \pi R^2 h ] где (h) — высота цилиндра. Подставим (h = 2R): [ V_{\text{цил}} = \pi R^2 \cdot 2R = 2 \pi R^3 ]

   Теперь подставим значение (R^3), которое мы нашли ранее: [ V_{\text{цил}} = 2 \pi \left( \frac{9}{\pi} \right) = 2 \times 9 = 18 ]

Таким образом, объём цилиндра, в который вписан шар с объёмом 12, равен (18).

Для решения данной задачи нам необходимо знать формулы для объема шара и объема цилиндра.

Объем шара равен: V = (4/3)πr^3, где r - радиус шара.

Объем цилиндра равен: V = πr^2h, где r - радиус цилиндра, h - высота цилиндра.

Поскольку шар вписан в цилиндр, то его радиус равен радиусу цилиндра, то есть r = r. Таким образом, мы можем записать соотношение объемов шара и цилиндра:

(4/3)πr^3 = 12.

Далее, найдем радиус шара: r = 12 / ((4/3)π)^(1/3) ≈ 1.71.

Теперь, найдем объем цилиндра, используя найденный радиус: V = π(1.71)^2h = 12, h ≈ 5.58.

Итак, объем цилиндра, в который вписан шар объемом 12, равен приблизительно 5.58.