Найти все натуральные n, при которых число (3n-1)/(n+1) является целым

Для того чтобы число (3n-1)/(n+1) было целым, необходимо, чтобы оно делилось нацело на (n+1). Это означает, что (3n-1) должно быть кратно (n+1).

Разделим (3n-1) на (n+1) с помощью деления с остатком:

(3n-1) = (n+1)*(3) - 4

Таким образом, (3n-1)/(n+1) = 3 - 4/(n+1)

Чтобы выражение было целым, необходимо, чтобы 4/(n+1) также было целым числом. Поскольку 4 - это константа, то (n+1) должно делиться на 4. То есть n+1 должно быть кратно 4.

Таким образом, все натуральные числа n, при которых (3n-1)/(n+1) является целым, будут такие, что n+1 делится на 4. Это могут быть, например, числа 3, 7, 11, 15, и так далее.

Для того чтобы найти все натуральные ( n ), при которых выражение (\frac{3n-1}{n+1}) является целым числом, нам нужно исследовать условия, при которых числитель делится на знаменатель без остатка. То есть, мы ищем такие ( n ), что:

[ 3n - 1 \equiv 0 \pmod{n+1} ]

Это значит, что существует целое число ( k ), такое что:

[ 3n - 1 = k(n + 1) ]

Раскроем правую часть уравнения:

[ 3n - 1 = kn + k ]

Переносим все члены, содержащие ( n ), в одну сторону уравнения:

[ 3n - kn = k + 1 ]

Вынесем ( n ) за скобки:

[ n(3 - k) = k + 1 ]

Отсюда следует, что ( n = \frac{k + 1}{3 - k} ). Чтобы ( n ) было натуральным числом, ( \frac{k + 1}{3 - k} ) должно быть положительным и целым. Рассмотрим возможные значения ( k ).

1. ( k = 0 ):

[ n = \frac{0 + 1}{3 - 0} = \frac{1}{3} ]

Это не натуральное число.

1. ( k = 1 ):

[ n = \frac{1 + 1}{3 - 1} = \frac{2}{2} = 1 ]

Это натуральное число.

1. ( k = 2 ):

[ n = \frac{2 + 1}{3 - 2} = \frac{3}{1} = 3 ]

Это натуральное число.

1. ( k = 3 ):

[ n = \frac{3 + 1}{3 - 3} = \frac{4}{0} ]

Это не определено.

Для ( k > 3 ), знаменатель ( 3 - k ) становится отрицательным, что сделает ( n ) отрицательным или нецелым числом. Следовательно, нам нужно рассмотреть только ( k = 1 ) и ( k = 2 ).

Таким образом, натуральные значения ( n ), удовлетворяющие условию, это ( n = 1 ) и ( n = 3 ).

Проверим:

• Для ( n = 1 ): (\frac{3 \times 1 - 1}{1 + 1} = \frac{2}{2} = 1).
• Для ( n = 3 ): (\frac{3 \times 3 - 1}{3 + 1} = \frac{8}{4} = 2).

Оба результата являются целыми числами. Таким образом, искомые натуральные числа ( n ) равны 1 и 3.