Найти уравнение плоскости, проходящей через точку пересечения плоскостей 2x+2y+z-7=0, 2x-y+3z-3=0, 4x+5y-2z-12=0...

Для нахождения уравнения плоскости, проходящей через точку пересечения данных трех плоскостей и через точки M(0;3;0) и N(1;1;1), нужно выполнить следующие шаги:

1. Найдем точку пересечения данных трех плоскостей. Для этого составим систему уравнений, содержащую уравнения данных плоскостей, и решим ее: 2x + 2y + z - 7 = 0 2x - y + 3z - 3 = 0 4x + 5y - 2z - 12 = 0

2. Найдем уравнение плоскости, проходящей через точку пересечения найденных плоскостей (точку A), а также через точки M(0;3;0) и N(1;1;1). Для этого воспользуемся формулой уравнения плоскости, проходящей через три точки: (x - x1)(y2 - y1) - (x2 - x1)(y - y1) = (x - x1)(z2 - z1) - (x2 - x1)(z - z1) где (x1, y1, z1) - координаты точки A, (x2, y2, z2) - координаты точки M, (x, y, z) - произвольные координаты точки на плоскости.

3. Подставим координаты точек A, M и N в уравнение плоскости и решим полученное уравнение относительно коэффициентов a, b и c, где уравнение плоскости имеет вид ax + by + cz + d = 0.

Таким образом, после выполнения всех указанных шагов мы найдем уравнение плоскости, проходящей через точку пересечения данных плоскостей и через точки M и N.

Чтобы найти уравнение плоскости, проходящей через точку пересечения трех плоскостей и через две заданные точки M(0, 3, 0) и N(1, 1, 1), следуйте следующим шагам:

1. Найдем точку пересечения плоскостей:

   Пусть ( P(x, y, z) ) — точка пересечения плоскостей. Плоскости заданы следующими уравнениями:

   [ \begin{align} 2x + 2y + z - 7 &= 0, \ 2x - y + 3z - 3 &= 0, \ 4x + 5y - 2z - 12 &= 0. \end{align} ]

   Решим систему этих уравнений. Умножим первое уравнение на 1 и вычтем из второго, чтобы исключить ( x ):

   [ \begin{align} (2x + 2y + z) - (2x - y + 3z) &= 7 - 3, \ 3y - 2z &= 4. \end{align} ]

   Умножим первое уравнение на 2 и вычтем из третьего, чтобы исключить ( x ):

   [ \begin{align} (4x + 4y + 2z) - (4x + 5y - 2z) &= 14 - 12, \ -y + 4z &= 2. \end{align} ]

   Теперь у нас есть система из двух уравнений:

   [ \begin{align} 3y - 2z &= 4, \ -y + 4z &= 2. \end{align} ]

   Решим систему. Умножим второе уравнение на 3 и сложим с первым:

   [ \begin{align} 3(-y + 4z) + 3y - 2z &= 3 \cdot 2 + 4, \ -3y + 12z + 3y - 2z &= 6 + 4, \ 10z &= 10, \ z &= 1. \end{align} ]

   Подставим ( z = 1 ) во второе уравнение:

   [ \begin{align} -y + 4 \cdot 1 &= 2, \ -y + 4 &= 2, \ -y &= -2, \ y &= 2. \end{align} ]

   Теперь подставим ( y = 2 ) и ( z = 1 ) в первое уравнение:

   [ \begin{align} 2x + 2 \cdot 2 + 1 &= 7, \ 2x + 4 + 1 &= 7, \ 2x + 5 &= 7, \ 2x &= 2, \ x &= 1. \end{align} ]

   Таким образом, точка пересечения плоскостей — ( P(1, 2, 1) ).

2. Определим уравнение плоскости:

   Плоскость должна проходить через точки ( P(1, 2, 1) ), ( M(0, 3, 0) ) и ( N(1, 1, 1) ).

   Вектор ( \overrightarrow{PM} = (0 - 1, 3 - 2, 0 - 1) = (-1, 1, -1) ).

   Вектор ( \overrightarrow{PN} = (1 - 1, 1 - 2, 1 - 1) = (0, -1, 0) ).

   Нормальный вектор к плоскости можно найти как векторное произведение векторов ( \overrightarrow{PM} ) и ( \overrightarrow{PN} ):

   [ \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ -1 & 1 & -1 \ 0 & -1 & 0 \ \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1 \cdot 0 - (-1) \cdot (-1)) - \mathbf{j}(-1 \cdot 0 - (-1) \cdot 0) + \mathbf{k}(-1 \cdot (-1) - 1 \cdot 0) ]

   [ = \mathbf{i}(0 - 1) - \mathbf{j}(0 - 0) + \mathbf{k}(1 - 0) ]

   [ = -\mathbf{i} + \mathbf{k} = (-1, 0, 1). ]

   Таким образом, нормальный вектор ( \mathbf{n} = (-1, 0, 1) ).

   Уравнение плоскости, проходящей через точку ( P(1, 2, 1) ) с нормальным вектором ( (-1, 0, 1) ), имеет вид:

   [ -1(x - 1) + 0(y - 2) + 1(z - 1) = 0. ]

   Упростим это уравнение:

   [ -x + 1 + z - 1 = 0, ]

   [ -x + z = 0, ]

   [ x = z. ]

   Таким образом, уравнение искомой плоскости: ( x = z ).