Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у=x^2-6x+8 и у=0
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у=x^2-6x+8 и у=0
Для нахождения площади фигуры, ограниченной графиком функции у=x^2-6x+8 и осью Х, нужно найти интеграл функции на заданном интервале и взять модуль этого значения.
Для того чтобы найти площадь фигуры, ограниченной кривыми у=x^2-6x+8 и у=0, необходимо найти точки их пересечения и затем найти интеграл от функции, ограничивающей фигуру, между этими точками.
Сначала найдем точки пересечения кривых у=x^2-6x+8 и у=0: x^2-6x+8=0 (x-2)(x-4)=0 x=2 или x=4
Теперь найдем интеграл от функции y=x^2-6x+8 между x=2 и x=4: ∫[2,4] (x^2-6x+8)dx = [1/3x^3 - 3x^2 + 8x] [2,4] = (1/34^3 - 34^2 + 84) - (1/32^3 - 32^2 + 82) = (64/3 - 48 + 32) - (8/3 - 12 + 16) = (80/3) - (-4/3) = 84/3 = 28
Итак, площадь фигуры, ограниченной кривыми у=x^2-6x+8 и у=0, равна 28.
Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями ( y = x^2 - 6x + 8 ) и ( y = 0 ), следует выполнить следующие шаги:
Определение точек пересечения кривой с осью ( y = 0 ): Нам нужно узнать, где кривая ( y = x^2 - 6x + 8 ) пересекает ось ( x ). Для этого решим уравнение: [ x^2 - 6x + 8 = 0 ] Это квадратное уравнение, и его корни можно найти по формуле корней квадратного уравнения: [ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ] Подставляя значения ( a = 1 ), ( b = -6 ), ( c = 8 ), получаем: [ x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2} = \frac{6 \pm 2}{2} ] Отсюда ( x_1 = 4 ) и ( x_2 = 2 ). Таким образом, кривая пересекает ось ( x ) в точках ( x = 2 ) и ( x = 4 ).
Нахождение площади фигуры между кривой и осью ( x ): Площадь под кривой от ( x = 2 ) до ( x = 4 ) можно найти путем интегрирования функции ( y = x^2 - 6x + 8 ): [ \text{Площадь} = \int{2}^{4} (x^2 - 6x + 8) \, dx ] Вычислим интеграл: [ \int (x^2 - 6x + 8) \, dx = \frac{x^3}{3} - 3x^2 + 8x + C ] Теперь подставим пределы интегрирования: [ \left[\frac{x^3}{3} - 3x^2 + 8x\right]{2}^{4} = \left(\frac{4^3}{3} - 3 \cdot 4^2 + 8 \cdot 4\right) - \left(\frac{2^3}{3} - 3 \cdot 2^2 + 8 \cdot 2\right) ] [ = \left(\frac{64}{3} - 48 + 32\right) - \left(\frac{8}{3} - 12 + 16\right) ] [ = \left(\frac{64 + 96 - 144}{3}\right) - \left(\frac{8 + 48 - 36}{3}\right) ] [ = \frac{16}{3} - \frac{20}{3} = -\frac{4}{3} ] Поскольку мы рассматриваем площадь над осью ( x ), важно взять абсолютное значение полученного результата, то есть ( \frac{4}{3} ).
Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями ( y = x^2 - 6x + 8 ) и ( y = 0 ), равна ( \frac{4}{3} ) квадратных единиц.
