Найти наибольшее и наименьшее значения функции f (x)=12x-x^3 на отрезке [-1; 3].
Найти наибольшее и наименьшее значения функции f (x)=12x-x^3 на отрезке [-1; 3].
Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции ( f(x) = 12x - x^3 ) на отрезке ([-1; 3]) нам необходимо выполнить несколько шагов:
Найдем производную функции ( f(x) ), чтобы определить критические точки, в которых функция может достигать локальных экстремумов: [ f'(x) = 12 - 3x^2. ]
Решим уравнение ( f'(x) = 0 ) для нахождения критических точек: [ 12 - 3x^2 = 0 \Rightarrow 3x^2 = 12 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2. ] Так как только ( x = 2 ) принадлежит отрезку ([-1; 3]), то это критическая точка на данном отрезке.
Вычислим значения функции в критической точке и на концах отрезка:
Сравним полученные значения:
Таким образом, на отрезке ([-1; 3]) функция ( f(x) = 12x - x^3 ) достигает наименьшего значения (-11) в точке ( x = -1 ) и наибольшего значения (16) в точке ( x = 2 ).
Наибольшее значение функции - f(1) = 11, наименьшее значение функции - f(3) = 18.
Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции f(x) = 12x - x^3 на отрезке [-1; 3] необходимо найти критические точки и значения функции на концах отрезка.
Найдем критические точки: Найдем производную функции f(x): f'(x) = 12 - 3x^2 Теперь найдем точки, где производная равна нулю: 12 - 3x^2 = 0 3x^2 = 12 x^2 = 4 x = ±2 Таким образом, критические точки находятся в x = -2 и x = 2.
Найдем значения функции на концах отрезка: f(-1) = 12(-1) - (-1)^3 = -12 + 1 = -11 f(3) = 123 - 3^3 = 36 - 27 = 9
Найдем значения функции в критических точках: f(-2) = 12(-2) - (-2)^3 = -24 + 8 = -16 f(2) = 122 - 2^3 = 24 - 8 = 16
Таким образом, наибольшее значение функции f(x) на отрезке [-1; 3] равно 16, а наименьшее значение равно -16.
