Найдите значение выражения 4 cos^2*60°*ctg 30°*sin 60°-sin^2*60°. И. Вычислите 4корень из 3*cos(-870°)

Для первого выражения:

1. ( \cos 60° = \frac{1}{2} )
2. ( \sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2} )
3. ( \cot 30° = \sqrt{3} )

Подставляем в выражение:

[ 4 \cos^2 60° \cdot \cot 30° \cdot \sin 60° - \sin^2 60° ]

[ = 4 \left(\frac{1}{2}\right)^2 \cdot \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 ]

[ = 4 \cdot \frac{1}{4} \cdot \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{3}{4} ]

[ = \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{3}{4} = \frac{3}{2} - \frac{3}{4} = \frac{6}{4} - \frac{3}{4} = \frac{3}{4} ]

Таким образом, значение первого выражения равно ( \frac{3}{4} ).

Теперь вычислим второе выражение:

[ 4 \sqrt{3} \cdot \cos(-870°) ]

Сначала найдем ( \cos(-870°) ). Угол можно уменьшить на ( 360° ):

(-870° + 2 \cdot 360° = -870° + 720° = -150°)

Или мы можем добавить ( 360° ) еще раз:

(-150° + 360° = 210°)

Теперь вычислим ( \cos 210° ):

(\cos 210° = -\frac{\sqrt{3}}{2})

Теперь подставим это значение:

[ 4 \sqrt{3} \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -4 \cdot \frac{3}{2} = -6 ]

Таким образом, значение второго выражения равно (-6).

Для начала решим первое выражение:

[ 4 \cos^2(60°) \cdot \cot(30°) \cdot \sin(60°) - \sin^2(60°) ]

1. Вычислим ( \cos(60°) ) и ( \sin(60°) ): [ \cos(60°) = \frac{1}{2}, \quad \sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2} ]

2. Вычислим ( \cot(30°) ): [ \cot(30°) = \frac{1}{\tan(30°)} = \frac{1}{\frac{1}{\sqrt{3}}} = \sqrt{3} ]

3. Подставим найденные значения в выражение: [ 4 \cos^2(60°) = 4 \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 4 \cdot \frac{1}{4} = 1 ] [ 4 \cos^2(60°) \cdot \cot(30°) \cdot \sin(60°) = 1 \cdot \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{2} ]

4. Теперь вычислим ( \sin^2(60°) ): [ \sin^2(60°) = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{3}{4} ]

5. Теперь подставим все значения в выражение: [ 4 \cos^2(60°) \cdot \cot(30°) \cdot \sin(60°) - \sin^2(60°) = \frac{3}{2} - \frac{3}{4} ]

   Приведем дроби к общему знаменателю (4): [ \frac{3}{2} = \frac{6}{4} ] Таким образом, [ \frac{6}{4} - \frac{3}{4} = \frac{3}{4} ]

Итак, значение первого выражения равно ( \frac{3}{4} ).

Теперь вычислим второе выражение:

[ 4\sqrt{3} \cdot \cos(-870°) ]

1. Сначала найдем ( \cos(-870°) ): Угол ( -870° ) можно привести к положительному углу, добавив ( 360° ) (полный круг) несколько раз: [ -870° + 2 \cdot 360° = -870° + 720° = -150° ] [ -150° + 360° = 210° ]

   Таким образом, ( \cos(-870°) = \cos(210°) ).

2. Теперь найдем ( \cos(210°) ): [ \cos(210°) = -\cos(30°) = -\frac{\sqrt{3}}{2} ]

3. Теперь подставим значение в выражение: [ 4\sqrt{3} \cdot \cos(-870°) = 4\sqrt{3} \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -2 \cdot 3 = -6 ]

Таким образом, значение второго выражения равно ( -6 ).

Итоговые результаты:

1. Первое выражение: ( \frac{3}{4} )
2. Второе выражение: ( -6 )

Давайте по порядку разберем и решим оба вопроса.

Первая часть

Найти значение выражения: [ 4 \cos^2 60^\circ \cdot \cot 30^\circ \cdot \sin 60^\circ - \sin^2 60^\circ ]

1. Найдем значения тригонометрических функций:

1. (\cos 60^\circ = \frac{1}{2})
2. (\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2})
3. (\cot 30^\circ = \frac{\cos 30^\circ}{\sin 30^\circ} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = \sqrt{3})

2. Подставим значения в выражение:

[ 4 \cos^2 60^\circ \cdot \cot 30^\circ \cdot \sin 60^\circ - \sin^2 60^\circ ] [ = 4 \left(\frac{1}{2}\right)^2 \cdot \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 ]

3. Упростим:

1. (\cos^2 60^\circ = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4})
2. Подставляем: [ 4 \cdot \frac{1}{4} \cdot \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 ] [ = (1 \cdot \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}) - \frac{3}{4} ] [ = \frac{3}{2} - \frac{3}{4} ]

4. Приведем к общему знаменателю:

[ \frac{3}{2} = \frac{6}{4} ] [ \frac{6}{4} - \frac{3}{4} = \frac{3}{4} ]

Ответ на первую часть:

[ \boxed{\frac{3}{4}} ]

Вторая часть

Вычислить: [ 4\sqrt{3} \cdot \cos(-870^\circ) ]

1. Приведем угол (-870^\circ) к эквивалентному углу в пределах ([0^\circ, 360^\circ)):

Чтобы найти эквивалентный угол, нужно добавить или вычесть целое число оборотов по (360^\circ). Делим (-870) на (360): [ -870 \div 360 = -2,4166\ldots ] Берем целую часть ((-2)) и умножаем на (360^\circ): [ -2 \cdot 360^\circ = -720^\circ ] Теперь добавляем к (-870^\circ): [ -870^\circ + 720^\circ = -150^\circ ] Так как (-150^\circ) все еще отрицательный, добавим еще (360^\circ): [ -150^\circ + 360^\circ = 210^\circ ]

Таким образом: [ \cos(-870^\circ) = \cos(210^\circ) ]

2. Найдем (\cos(210^\circ)):

Угол (210^\circ) находится в третьей четверти, где (\cos) отрицателен. Референсный угол: [ 210^\circ - 180^\circ = 30^\circ ] (\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}), следовательно: [ \cos(210^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2} ]

3. Подставим в выражение:

[ 4\sqrt{3} \cdot \cos(-870^\circ) = 4\sqrt{3} \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) ] [ = 4\sqrt{3} \cdot -\frac{\sqrt{3}}{2} = -2 \cdot 3 = -6 ]

Ответ на вторую часть:

[ \boxed{-6} ]

Итоговые ответы:

1. Для первого выражения: (\frac{3}{4})
2. Для второго выражения: (-6)