Найдите значение производной функции f (x)= sin x + 3 cos x в точке х0 = П/2

Чтобы найти значение производной функции ( f(x) = \sin x + 3\cos x ) в точке ( x_0 = \frac{\pi}{2} ), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции:
   Функция ( f(x) = \sin x + 3\cos x ) состоит из двух слагаемых: (\sin x) и (3\cos x). Производная суммы функций равна сумме производных, то есть:

   [ f'(x) = \frac{d}{dx}(\sin x) + \frac{d}{dx}(3\cos x) ]

   Известно, что производная от (\sin x) равна (\cos x), а производная от (\cos x) равна (-\sin x). Применяя это, получаем:

   [ f'(x) = \cos x + 3(-\sin x) = \cos x - 3\sin x ]

2. Подставить значение ( x_0 = \frac{\pi}{2} ) в производную:
   Теперь, когда мы нашли производную, подставим в неё ( x_0 = \frac{\pi}{2} ):

   [ f'\left(\frac{\pi}{2}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) - 3\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) ]

   Из тригонометрических свойств знаем, что (\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0) и (\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1). Подставляя эти значения, получаем:

   [ f'\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 - 3 \times 1 = -3 ]

Таким образом, значение производной функции ( f(x) = \sin x + 3\cos x ) в точке ( x_0 = \frac{\pi}{2} ) равно (-3).

Для нахождения значения производной функции f(x) = sin(x) + 3cos(x) в точке x0 = π/2 необходимо вычислить производную этой функции и подставить значение x0.

f'(x) = cos(x) - 3sin(x) (производная синуса равна косинусу, а производная косинуса равна минус синусу)

Теперь найдем значение производной в точке x0 = π/2:

f'(π/2) = cos(π/2) - 3sin(π/2) = 0 - 3*1 = -3

Таким образом, значение производной функции f(x) = sin(x) + 3cos(x) в точке x0 = π/2 равно -3.