Найдите вероятность того, что все буквы "а" окажутся на своих местах, если случайным образом перемешать...

Для начала рассмотрим слово "карандаш". В этом слове 8 букв, среди которых 3 буквы "а". Задача состоит в том, чтобы найти вероятность того, что после случайного перемешивания все буквы "а" окажутся на своих местах.

Шаг 1: Определение общего числа перестановок

Общее число различных перестановок всех букв слова "карандаш" можно найти с помощью формулы для перестановок с повторениями:

[ \frac{n!}{k_1! \cdot k_2! \cdot \ldots \cdot k_m!} ]

где ( n ) — общее количество букв, а ( k_1, k_2, \ldots, k_m ) — количества повторяющихся букв. В нашем случае ( n = 8 ), ( k_1 = 3 ) (буквы "а"), и остальные буквы появляются по одному разу.

Таким образом, общее число перестановок:

[ \frac{8!}{3! \cdot 1! \cdot 1! \cdot 1! \cdot 1! \cdot 1!} = \frac{40320}{6} = 6720 ]

Шаг 2: Определение благоприятных исходов

Теперь нам нужно найти количество благоприятных исходов, когда все буквы "а" остаются на своих местах. Это означает, что мы фиксируем позиции 2, 4 и 6 (где стоят буквы "а" в исходном слове).

Остаётся переставить остальные 5 букв ("к", "р", "н", "д", "ш") на оставшихся 5 позициях. Число таких перестановок равно ( 5! ):

[ 5! = 120 ]

Шаг 3: Вычисление вероятности

Теперь вероятность того, что буквы "а" останутся на своих местах, можно найти, поделив количество благоприятных исходов на общее количество перестановок:

[ P = \frac{\text{Количество благоприятных исходов}}{\text{Общее количество перестановок}} = \frac{120}{6720} = \frac{1}{56} ]

Итог

Таким образом, вероятность того, что все буквы "а" окажутся на своих местах после случайного перемешивания букв слова "карандаш", составляет ( \frac{1}{56} ).

Для решения данной задачи используем метод комбинаторики. В слове "карандаш" всего 8 букв, из которых 3 буквы "а".

Общее количество способов выстроить все буквы в ряд равно 8!, так как у нас есть 8 позиций, на которых могут стоять буквы.

Теперь рассмотрим количество способов, при которых все буквы "а" окажутся на своих местах. Рассмотрим буквы "а" как один элемент. Теперь у нас имеется 6 элементов: "к", "р", "н", "д", "ш" и "а". Всего у нас есть 6! способов расставить эти элементы на своих местах. Однако, учитывая, что буквы "а" воспринимаем как один элемент, то у нас получается 6!*3! способов.

Итак, вероятность того, что все буквы "а" окажутся на своих местах, равна: (6!*3!)/8! = 1/28.

Таким образом, вероятность того, что все буквы "а" окажутся на своих местах, составляет 1/28.