Найдите трехзначное число А, обладающее всеми следующими свойствами: сумма цифр числа А делится на 7;...

Ответ: 315

Для решения этой задачи нам нужно найти трехзначное число, которое соответствует всем условиям.

1. Сначала определим диапазон, в котором находится число А. У нас есть условие, что число А больше 300 и меньше 350. Таким образом, число А должно быть в диапазоне от 301 до 349.

2. Теперь найдем все трехзначные числа в этом диапазоне, сумма цифр которых делится на 7. Это могут быть числа: 308, 317, 326, 335, 344.

3. Проверим, какие из этих чисел удовлетворяют второму условию (сумма цифр числа (А+2) делится на 7). Для этого добавим 2 к каждому числу из списка и проверим, делится ли сумма цифр на 7:

   • 310 (3+1+0 = 4), 319 (3+1+9 = 13), 328 (3+2+8 = 13), 337 (3+3+7 = 13), 346 (3+4+6 = 13).

Из вышеперечисленных чисел только 319, 328 и 337 удовлетворяют обоим условиям. Однако, число 319 не удовлетворяет третьему условию (быть больше 300), поэтому остаются только два числа: 328 и 337.

Таким образом, трехзначное число А, обладающее всеми указанными свойствами, может быть равно 328 или 337.

Чтобы найти трехзначное число ( A ), которое обладает всеми заданными свойствами, давайте рассмотрим их по очереди и пошагово решим задачу.

1. Свойства числа ( A ):

   • Сумма цифр числа ( A ) делится на 7.
   • Сумма цифр числа ( A+2 ) делится на 7.
   • ( A ) больше 300 и меньше 350.

2. Запишем условие для суммы цифр: Пусть ( A = 100a + 10b + c ), где ( a, b, c ) — цифры числа ( A ). ( A ) находится в диапазоне от 300 до 350, следовательно, ( a = 3 ).

   Тогда ( A = 300 + 10b + c ), где ( b ) и ( c ) — цифры числа ( A ).

   Сумма цифр числа ( A ): [ S(A) = 3 + b + c ]

3. Условие для суммы цифр числа ( A+2 ): [ A + 2 = 300 + 10b + c + 2 = 302 + 10b + c ]

   Сумма цифр числа ( A+2 ): [ S(A+2) = 3 + b + (c + 2) ]

4. Составим систему уравнений на основе условий делимости на 7: [ 3 + b + c \equiv 0 \ (\text{mod} \ 7) ] [ 3 + b + c + 2 \equiv 0 \ (\text{mod} \ 7) ]

   Упростим второе уравнение: [ 5 + b + c \equiv 0 \ (\text{mod} \ 7) ]

5. Вычтем первое уравнение из второго: [ (5 + b + c) - (3 + b + c) \equiv 0 \ (\text{mod} \ 7) ] [ 2 \equiv 0 \ (\text{mod} \ 7) ]

   Это уравнение удовлетворяет всем целым числам (то есть всегда верно), что означает, что оба условия делимости на 7 эквивалентны.

6. Рассмотрим уравнение ( 3 + b + c \equiv 0 \ (\text{mod} \ 7) ): [ b + c \equiv 4 \ (\text{mod} \ 7) ]

7. Переберем возможные значения ( b ) и ( c ): [ b + c = 4, 11, 18, \ldots ]

   Поскольку ( b ) и ( c ) — цифры (от 0 до 9), единственно возможное значение: [ b + c = 4 ]

8. Рассмотрим все возможные пары ( (b, c) ): [ (0, 4), (1, 3), (2, 2), (3, 1), (4, 0) ]

9. Проверим каждое значение ( b ) и ( c ):

   • Если ( b = 0 ) и ( c = 4 ), то ( A = 300 + 0 + 4 = 304 )
   • Если ( b = 1 ) и ( c = 3 ), то ( A = 300 + 10 + 3 = 313 )
   • Если ( b = 2 ) и ( c = 2 ), то ( A = 300 + 20 + 2 = 322 )
   • Если ( b = 3 ) и ( c = 1 ), то ( A = 300 + 30 + 1 = 331 )
   • Если ( b = 4 ) и ( c = 0 ), то ( A = 300 + 40 + 0 = 340 )

10. Проверим делимость суммы цифр на 7:

    • ( 304 ): ( 3 + 0 + 4 = 7 ) (делится на 7), ( 306 ): ( 3 + 0 + 6 = 9 ) (не делится на 7)
    • ( 313 ): ( 3 + 1 + 3 = 7 ) (делится на 7), ( 315 ): ( 3 + 1 + 5 = 9 ) (не делится на 7)
    • ( 322 ): ( 3 + 2 + 2 = 7 ) (делится на 7), ( 324 ): ( 3 + 2 + 4 = 9 ) (не делится на 7)
    • ( 331 ): ( 3 + 3 + 1 = 7 ) (делится на 7), ( 333 ): ( 3 + 3 + 3 = 9 ) (не делится на 7)
    • ( 340 ): ( 3 + 4 + 0 = 7 ) (делится на 7), ( 342 ): ( 3 + 4 + 2 = 9 ) (не делится на 7)

Из всех рассмотренных чисел ( A ), удовлетворяющих условиям задачи, подходящим является ( 322 ).