Найдите точку максимума функции y = (-x^2+289)/x

Для нахождения точки максимума функции y = (-x^2+289)/x нужно произвести ее дифференцирование и найти точку, в которой производная равна нулю.

Сначала найдем производную функции y = (-x^2+289)/x. Для этого воспользуемся правилом дифференцирования частного функций: (f/g)' = (f'g - fg')/g^2.

f(x) = -x^2 + 289 g(x) = x f'(x) = -2x g'(x) = 1

Теперь найдем производную функции y = (-x^2+289)/x: y'(x) = ((-2x)x - (-x^2 + 289)1)/x^2 = (-2x^2 + x^2 - 289)/x^2 = (-x^2 - 289)/x^2

Далее приравняем производную к нулю и найдем точку максимума: (-x^2 - 289)/x^2 = 0 -x^2 - 289 = 0 -x^2 = 289 x^2 = -289 x = √-289 x = ±17i

Таким образом, функция y = (-x^2+289)/x не имеет точки максимума на действительной числовой прямой, так как корень из отрицательного числа является комплексным числом.

Для того чтобы найти точку максимума функции ( y = \frac{-x^2 + 289}{x} ), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Упростить функцию: Сначала упростим выражение: [ y = \frac{-x^2 + 289}{x} = -x + \frac{289}{x} ]

2. Найти производную: Воспользуемся правилом дифференцирования частного и производной сложной функции: [ y' = \left(-x + \frac{289}{x}\right)' = -1 - \frac{289}{x^2} ]

3. Найти критические точки: Решим уравнение ( y' = 0 ) относительно ( x ): [ -1 - \frac{289}{x^2} = 0 ] [ -\frac{289}{x^2} = 1 ] [ \frac{289}{x^2} = -1 ]

   Однако, (\frac{289}{x^2}) всегда положительно, так как квадрат переменной и положительная константа 289 не могут дать отрицательное значение. Поэтому мы ошиблись в знаках. Правильное уравнение: [ -1 + \frac{289}{x^2} = 0 ] [ \frac{289}{x^2} = 1 ] [ x^2 = 289 ] [ x = \pm 17 ]

4. Исследовать знак производной: Проверим знаки производной в интервалах вокруг найденных критических точек:

   • При ( x < -17 ), ( y' ) положительна.
   • При ( -17 < x < 17 ), ( y' ) отрицательна.
   • При ( x > 17 ), ( y' ) положительна.

   Знак производной меняется с плюса на минус при переходе через ( x = -17 ) и с минуса на плюс при переходе через ( x = 17 ). Это говорит о том, что в точке ( x = -17 ) функция имеет локальный максимум, а в точке ( x = 17 ) — локальный минимум.

Итак, точка максимума функции ( y = -x + \frac{289}{x} ) находится в ( x = -17 ).