Найдите tg альфа если sin альфа= 6/корень из 61 и 0 градусов

Для нахождения тангенса угла (\alpha) по заданному значению синуса (\sin \alpha = \frac{6}{\sqrt{61}}) и условию (0^\circ < \alpha < 90^\circ), можем воспользоваться известными тригонометрическими соотношениями.

Знаем, что тангенс угла определяется как отношение синуса к косинусу:

[ \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} ]

Для начала, нам необходимо найти (\cos \alpha). Мы можем использовать основное тригонометрическое тождество:

[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 ]

Подставим значение (\sin \alpha):

[ \left(\frac{6}{\sqrt{61}}\right)^2 + \cos^2 \alpha = 1 ]

Это можно упростить:

[ \frac{36}{61} + \cos^2 \alpha = 1 ]

Теперь вычтем (\frac{36}{61}) из 1:

[ \cos^2 \alpha = 1 - \frac{36}{61} = \frac{61}{61} - \frac{36}{61} = \frac{25}{61} ]

Теперь найдем (\cos \alpha):

[ \cos \alpha = \sqrt{\frac{25}{61}} = \frac{5}{\sqrt{61}} ]

Теперь подставим полученные значения (\sin \alpha) и (\cos \alpha) в формулу для тангенса:

[ \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{6}{\sqrt{61}}}{\frac{5}{\sqrt{61}}} ]

Упрощая, получаем:

[ \tan \alpha = \frac{6}{5} ]

Таким образом, тангенс угла (\alpha) равен:

[ \tan \alpha = \frac{6}{5} ]

Чтобы найти ( \tan \alpha ), используя ( \sin \alpha = \frac{6}{\sqrt{61}} ), сначала найдем ( \cos \alpha ).

Используя основное тригонометрическое тождество:

[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 ]

Подставляем значение ( \sin \alpha ):

[ \left(\frac{6}{\sqrt{61}}\right)^2 + \cos^2 \alpha = 1 ]

[ \frac{36}{61} + \cos^2 \alpha = 1 ]

[ \cos^2 \alpha = 1 - \frac{36}{61} = \frac{25}{61} ]

Таким образом,

[ \cos \alpha = \sqrt{\frac{25}{61}} = \frac{5}{\sqrt{61}} ]

Теперь находим ( \tan \alpha ):

[ \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{6}{\sqrt{61}}}{\frac{5}{\sqrt{61}}} = \frac{6}{5} ]

Ответ: ( \tan \alpha = \frac{6}{5} ).

Давайте разберёмся с задачей по шагам:

Условие:

Нам дано, что (\sin \alpha = \frac{6}{\sqrt{61}}), и необходимо найти (\tan \alpha). Также подразумевается, что угол (\alpha) находится в пределах первого квадранта (0° < (\alpha) < 90°), так как синус положителен, а угол в данном диапазоне.

Формулы, которые используются:

1. Для нахождения тангенса применим основное тригонометрическое тождество: [ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1. ] Отсюда можно найти (\cos \alpha): [ \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha. ]

2. Тангенс определяется как: [ \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}. ]

Решение:

1. Найдём (\cos^2 \alpha): Подставляем значение (\sin \alpha = \frac{6}{\sqrt{61}}) в основное тождество: [ \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha. ] Вычислим (\sin^2 \alpha): [ \sin^2 \alpha = \left(\frac{6}{\sqrt{61}}\right)^2 = \frac{36}{61}. ] Следовательно: [ \cos^2 \alpha = 1 - \frac{36}{61} = \frac{61}{61} - \frac{36}{61} = \frac{25}{61}. ]

2. Найдём (\cos \alpha): Так как угол (\alpha) находится в первом квадранте ((0° < \alpha < 90°)), (\cos \alpha > 0). Поэтому: [ \cos \alpha = \sqrt{\frac{25}{61}} = \frac{5}{\sqrt{61}}. ]

3. Найдём (\tan \alpha): Подставляем значения (\sin \alpha) и (\cos \alpha) в формулу для тангенса: [ \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{6}{\sqrt{61}}}{\frac{5}{\sqrt{61}}}. ] Упрощаем: [ \tan \alpha = \frac{6}{5}. ]

Ответ:

[ \tan \alpha = \frac{6}{5}. ]