Найдите промежутки возрастания для функции y=x³-6x² только пожалуйста подробно, у меня экзамен

Чтобы найти промежутки возрастания функции ( y = x^3 - 6x^2 ), нужно следовать нескольким шагам, включающим нахождение производной, критических точек и анализ знаков производной.

1. Найдите производную функции

Функция ( y = x^3 - 6x^2 ) является полиномиальной, и мы можем найти её производную с помощью стандартных правил дифференцирования:

[ y' = \frac{d}{dx}(x^3) - \frac{d}{dx}(6x^2) ]

[ y' = 3x^2 - 12x ]

2. Найдите критические точки

Критические точки находятся там, где производная равна нулю или не определена. В данном случае производная является полиномом и определена для всех ( x ), поэтому ищем где:

[ 3x^2 - 12x = 0 ]

Решим это уравнение:

[ 3x(x - 4) = 0 ]

Отсюда имеем критические точки: ( x = 0 ) и ( x = 4 ).

3. Определите знаки производной на промежутках

Теперь нужно определить знак производной на промежутках, разделённых критическими точками. Эти промежутки: ( (-\infty, 0) ), ( (0, 4) ), и ( (4, \infty) ).

• Для промежутка ( (-\infty, 0) ):

Выберем тестовую точку, например ( x = -1 ):

[ y'(-1) = 3(-1)^2 - 12(-1) = 3 + 12 = 15 ]

Знак производной положительный (( y' > 0 )), значит, функция возрастает на этом промежутке.

• Для промежутка ( (0, 4) ):

Выберем тестовую точку, например ( x = 2 ):

[ y'(2) = 3(2)^2 - 12(2) = 12 - 24 = -12 ]

Знак производной отрицательный (( y' < 0 )), значит, функция убывает на этом промежутке.

• Для промежутка ( (4, \infty) ):

Выберем тестовую точку, например ( x = 5 ):

[ y'(5) = 3(5)^2 - 12(5) = 75 - 60 = 15 ]

Знак производной положительный (( y' > 0 )), значит, функция возрастает на этом промежутке.

4. Запишите окончательный ответ

Функция ( y = x^3 - 6x^2 ) возрастает на промежутках ( (-\infty, 0) ) и ( (4, \infty) ).

Для нахождения промежутков возрастания функции y=x³-6x² нужно найти ее производную. Производная этой функции равна y'=3x²-12x. Далее найдем точки, в которых производная равна нулю: 3x²-12x=0. Решив это уравнение, получаем x=0 и x=4. Теперь проведем тестирование точек на промежутках (-бесконечность;0), (0;4) и (4;+бесконечность). Подставив значения x в производную, мы узнаем, в каких интервалах функция возрастает.

Для того чтобы найти промежутки возрастания функции y=x³-6x², необходимо найти ее производную и решить неравенство f'(x) > 0.

Сначала найдем производную функции y=x³-6x²: f'(x) = 3x² - 12x

Теперь найдем точки, в которых производная равна нулю: 3x² - 12x = 0 3x(x - 4) = 0 x = 0 или x = 4

Теперь разберем интервалы возрастания функции, используя тестирование знаков:

1. Выберем произвольное значение x < 0, например x = -1: f'(-1) = 3(-1)² - 12(-1) = 3 + 12 > 0

2. Выберем произвольное значение 0 < x < 4, например x = 2: f'(2) = 3(2)² - 12(2) = 12 - 24 < 0

3. Выберем произвольное значение x > 4, например x = 5: f'(5) = 3(5)² - 12(5) = 75 - 60 > 0

Итак, функция возрастает на интервалах (-бесконечность, 0) и (4, +бесконечность).