Найдите производные функции а)f(х)=(4х+7)в третей степени б)у=х*tg 3х

a) f'(x) = 12(4x + 7)^2 b) y' = tg(3x) + 3x(sec^2(3x))

Конечно, давайте найдем производные для каждой из указанных функций.

а) ( f(x) = (4x + 7)^3 )

Для нахождения производной этой функции применим правило дифференцирования сложной функции, также известное как правило цепочки. Согласно этому правилу, если у нас есть функция вида ( f(x) = (g(x))^n ), её производная будет:

[ f'(x) = n \cdot (g(x))^{n-1} \cdot g'(x) ]

В нашем случае ( g(x) = 4x + 7 ) и ( n = 3 ).

1. Найдём производную внутренней функции ( g(x) ):

[ g'(x) = \frac{d}{dx}(4x + 7) = 4 ]

1. Применим правило цепочки:

[ f'(x) = 3 \cdot (4x + 7)^2 \cdot 4 ]

Таким образом, производная функции:

[ f'(x) = 12 \cdot (4x + 7)^2 ]

б) ( y = x \cdot \tan(3x) )

Для этой функции мы будем использовать правило произведения и правило цепочки. Правило произведения гласит, что если у нас есть функция вида ( y = u(x) \cdot v(x) ), то её производная:

[ y' = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x) ]

Здесь ( u(x) = x ) и ( v(x) = \tan(3x) ).

1. Найдём производную ( u(x) ):

[ u'(x) = \frac{d}{dx}(x) = 1 ]

1. Найдём производную ( v(x) ) с использованием правила цепочки. Сначала найдём производную внешней функции (\tan(x)), которая равна (\sec^2(x)), и затем умножим на производную внутренней функции (3x):

[ v'(x) = \frac{d}{dx}(\tan(3x)) = \sec^2(3x) \cdot 3 ]

1. Применим правило произведения:

[ y' = 1 \cdot \tan(3x) + x \cdot (3 \cdot \sec^2(3x)) ]

Таким образом, окончательная производная функции:

[ y' = \tan(3x) + 3x \cdot \sec^2(3x) ]

Это завершает нахождение производных для указанных функций.

а) Для нахождения производной функции f(x)=(4x+7)^3 по переменной x используем правило дифференцирования сложной функции. Сначала найдем производную внешней функции (4x+7)^3, применяя правило дифференцирования степенной функции: (u^n)' = nu^(n-1)u'. В данном случае n=3, u=4x+7. Тогда производная внешней функции равна 3(4x+7)^(3-1)(4), что равно 12(4x+7)^2. Затем найдем производную внутренней функции 4x+7, которая равна 4. Таким образом, производная функции f(x)=(4x+7)^3 равна 12(4x+7)^24 = 48(4x+7)^2.

б) Для нахождения производной функции у=xtg(3x) по переменной x используем правило дифференцирования произведения функций. Производная произведения двух функций равна произведению производной первой функции на вторую функцию плюс произведению первой функции на производную второй функции. Производная функции y=x равна 1, производная функции y=tg(3x) равна 3/(cos^2(3x)). Тогда производная функции у=xtg(3x) равна 1tg(3x) + x3/(cos^2(3x)) = tg(3x) + 3x/(cos^2(3x).