Найдите производную функию:а)3x2-1/x2;б)(x/3+7)6;в)(e)xcosx

Тематика Математика
Уровень 10 - 11 классы
производная функция математический анализ 3x2 1/x2 (x/3+7)6 (e)xcosx дифференцирование вычисление производных примеры производных
0

найдите производную функию:а)3x2-1/x2;б)(x/3+7)6;в)(e)xcosx

avatar
задан 5 месяцев назад

3 Ответа

0

Конечно, давайте разберем каждый из заданных примеров по порядку.

Пример а) (3x^2 - \frac{1}{x^2})

Чтобы найти производную сложной функции, будем использовать основные правила дифференцирования: производная суммы равна сумме производных, и производная произведения равна произведению производной.

  1. Производная от (3x^2): [ \frac{d}{dx}(3x^2) = 3 \cdot \frac{d}{dx}(x^2) = 3 \cdot 2x = 6x ]

  2. Производная от (\frac{1}{x^2}): Перепишем (\frac{1}{x^2}) как (x^{-2}): [ \frac{d}{dx}(x^{-2}) = -2x^{-3} = -\frac{2}{x^3} ]

Соединяя результаты, получаем: [ \frac{d}{dx}\left(3x^2 - \frac{1}{x^2}\right) = 6x + \frac{2}{x^3} ]

Пример б) (\left(\frac{x}{3} + 7\right)^6)

Для нахождения производной этой функции используем правило цепочки. Пусть: [ u = \frac{x}{3} + 7 ] Тогда функция имеет вид (u^6).

  1. Производная от (u^6) по (u): [ \frac{d}{du}(u^6) = 6u^5 ]

  2. Теперь найдем производную (u) по (x): [ \frac{d}{dx}\left(\frac{x}{3} + 7\right) = \frac{1}{3} ]

Используем правило цепочки: [ \frac{d}{dx}\left(\left(\frac{x}{3} + 7\right)^6\right) = 6\left(\frac{x}{3} + 7\right)^5 \cdot \frac{1}{3} = 2\left(\frac{x}{3} + 7\right)^5 ]

Пример в) (e^x \cos(x))

Для нахождения производной произведения двух функций используем правило произведения. Пусть: [ u = e^x \quad \text{и} \quad v = \cos(x) ]

  1. Производная от (u = e^x): [ \frac{d}{dx}(e^x) = e^x ]

  2. Производная от (v = \cos(x)): [ \frac{d}{dx}(\cos(x)) = -\sin(x) ]

Теперь применим правило произведения: [ \frac{d}{dx}(e^x \cos(x)) = e^x \cdot \frac{d}{dx}(\cos(x)) + \cos(x) \cdot \frac{d}{dx}(e^x) ] [ = e^x \cdot (-\sin(x)) + \cos(x) \cdot e^x ] [ = e^x \cos(x) - e^x \sin(x) ]

Итак, производная функции (e^x \cos(x)) равна: [ e^x (\cos(x) - \sin(x)) ]

Таким образом, производные функций: а) (3x^2 - \frac{1}{x^2}) равна (6x + \frac{2}{x^3}), б) (\left(\frac{x}{3} + 7\right)^6) равна (2\left(\frac{x}{3} + 7\right)^5), в) (e^x \cos(x)) равна (e^x (\cos(x) - \sin(x))).

avatar
ответил 5 месяцев назад
0

а) 6x + 2/x^3 б) 2(x/3 + 7)^5 в) e^x(cosx - sinx)

avatar
ответил 5 месяцев назад
0

а) Для нахождения производной функции 3x^2 - 1/x^2 используем правило дифференцирования сложной функции. Сначала найдем производные от каждого слагаемого:

  • Первое слагаемое: производная от 3x^2 равна 6x
  • Второе слагаемое: производная от -1/x^2 равна 2/x^3

Итак, производная функции 3x^2 - 1/x^2 равна: 6x + 2/x^3

б) Для нахождения производной функции (x/3 + 7)^6 воспользуемся правилом цепочки. Сначала найдем производную от (x/3 + 7):

  • Производная от x/3 равна 1/3
  • Производная от 7 равна 0

Итак, производная от (x/3 + 7) равна 1/3. Теперь умножим это значение на 6 и возведем в степень 5. Получим: 6 (1/3) 6 * (x/3 + 7)^5 = 2(x/3 + 7)^5

в) Для нахождения производной функции e^x * cos(x) воспользуемся правилом умножения двух функций. Первая функция e^x имеет производную e^x, а вторая функция cos(x) имеет производную -sin(x).

Итак, производная функции e^x cos(x) равна: e^x (-sin(x)) = -e^x * sin(x)

avatar
ответил 5 месяцев назад

Ваш ответ

Вопросы по теме

Найти производную функции y=x^2cosx
6 месяцев назад анжела2578