Конечно, давайте разберем каждый из заданных примеров по порядку.
Пример а) (3x^2 - \frac{1}{x^2})
Чтобы найти производную сложной функции, будем использовать основные правила дифференцирования: производная суммы равна сумме производных, и производная произведения равна произведению производной.
Производная от (3x^2):
[
\frac{d}{dx}(3x^2) = 3 \cdot \frac{d}{dx}(x^2) = 3 \cdot 2x = 6x
]
Производная от (\frac{1}{x^2}):
Перепишем (\frac{1}{x^2}) как (x^{-2}):
[
\frac{d}{dx}(x^{-2}) = -2x^{-3} = -\frac{2}{x^3}
]
Соединяя результаты, получаем:
[
\frac{d}{dx}\left(3x^2 - \frac{1}{x^2}\right) = 6x + \frac{2}{x^3}
]
Пример б) (\left(\frac{x}{3} + 7\right)^6)
Для нахождения производной этой функции используем правило цепочки. Пусть:
[
u = \frac{x}{3} + 7
]
Тогда функция имеет вид (u^6).
Производная от (u^6) по (u):
[
\frac{d}{du}(u^6) = 6u^5
]
Теперь найдем производную (u) по (x):
[
\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{3} + 7\right) = \frac{1}{3}
]
Используем правило цепочки:
[
\frac{d}{dx}\left(\left(\frac{x}{3} + 7\right)^6\right) = 6\left(\frac{x}{3} + 7\right)^5 \cdot \frac{1}{3} = 2\left(\frac{x}{3} + 7\right)^5
]
Пример в) (e^x \cos(x))
Для нахождения производной произведения двух функций используем правило произведения. Пусть:
[
u = e^x \quad \text{и} \quad v = \cos(x)
]
Производная от (u = e^x):
[
\frac{d}{dx}(e^x) = e^x
]
Производная от (v = \cos(x)):
[
\frac{d}{dx}(\cos(x)) = -\sin(x)
]
Теперь применим правило произведения:
[
\frac{d}{dx}(e^x \cos(x)) = e^x \cdot \frac{d}{dx}(\cos(x)) + \cos(x) \cdot \frac{d}{dx}(e^x)
]
[
= e^x \cdot (-\sin(x)) + \cos(x) \cdot e^x
]
[
= e^x \cos(x) - e^x \sin(x)
]
Итак, производная функции (e^x \cos(x)) равна:
[
e^x (\cos(x) - \sin(x))
]
Таким образом, производные функций:
а) (3x^2 - \frac{1}{x^2}) равна (6x + \frac{2}{x^3}),
б) (\left(\frac{x}{3} + 7\right)^6) равна (2\left(\frac{x}{3} + 7\right)^5),
в) (e^x \cos(x)) равна (e^x (\cos(x) - \sin(x))).