Найдите производную функции:Пожалуйста помогите** 1.p(x)=2/x в квадрате - 10 2.g(x)= 4ctgx и вычислите...

Давайте разберем каждый из ваших вопросов по очереди. Я подробно опишу, как находить производные и вычислять значения функций.

1. ( p(x) = \frac{2}{x^2} - 10 )

Сначала найдем производную этой функции ( p(x) ). Для этого воспользуемся правилом дифференцирования дробных функций и постоянных.

Шаг 1: Производная ( \frac{2}{x^2} )

Перепишем ( \frac{2}{x^2} ) как ( 2x^{-2} ). Теперь применим правило дифференцирования степенной функции: если ( f(x) = ax^n ), то ( f'(x) = a \cdot n \cdot x^{n-1} ).

[ \frac{d}{dx}(2x^{-2}) = 2 \cdot (-2) \cdot x^{-3} = -\frac{4}{x^3} ]

Шаг 2: Производная числа ( -10 )

Производная любого постоянного числа равна нулю:

[ \frac{d}{dx}(-10) = 0 ]

Шаг 3: Сложим результаты

Теперь сложим производные каждого члена:

[ p'(x) = -\frac{4}{x^3} + 0 = -\frac{4}{x^3} ]

Ответ для ( p'(x) ): [ p'(x) = -\frac{4}{x^3} ]

2. ( g(x) = 4 \cdot \operatorname{ctg}(x), \text{ и нужно найти } g(-\frac{2\pi}{3}) )

Шаг 1: Найдем производную ( g(x) )

Производная ( \operatorname{ctg}(x) ) равна ( -\operatorname{csc}^2(x) ), где ( \operatorname{csc}(x) = \frac{1}{\sin(x)} ).

[ g'(x) = 4 \cdot \frac{d}{dx}(\operatorname{ctg}(x)) = 4 \cdot (-\operatorname{csc}^2(x)) = -4 \cdot \operatorname{csc}^2(x) ]

Шаг 2: Вычислим ( g(-\frac{2\pi}{3}) )

Для этого просто подставим ( x = -\frac{2\pi}{3} ) в исходную функцию ( g(x) = 4 \cdot \operatorname{ctg}(x) ).

Формула для ( \operatorname{ctg}(x) ) такова: [ \operatorname{ctg}(x) = \frac{\cos(x)}{\sin(x)} ]

Подставим ( x = -\frac{2\pi}{3} ):

• ( \cos(-\frac{2\pi}{3}) = -\cos(\frac{2\pi}{3}) = -(-\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} )
• ( \sin(-\frac{2\pi}{3}) = -\sin(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} )

Теперь найдём ( \operatorname{ctg}(-\frac{2\pi}{3}) ): [ \operatorname{ctg}(-\frac{2\pi}{3}) = \frac{\cos(-\frac{2\pi}{3})}{\sin(-\frac{2\pi}{3})} = \frac{\frac{1}{2}}{-\frac{\sqrt{3}}{2}} = -\frac{1}{\sqrt{3}} ]

Подставляем в ( g(x) ): [ g(-\frac{2\pi}{3}) = 4 \cdot \operatorname{ctg}(-\frac{2\pi}{3}) = 4 \cdot -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{4}{\sqrt{3}} ]

Упростим, домножив числитель и знаменатель на ( \sqrt{3} ): [ g(-\frac{2\pi}{3}) = -\frac{4\sqrt{3}}{3} ]

Ответ для ( g(-\frac{2\pi}{3}) ): [ g(-\frac{2\pi}{3}) = -\frac{4\sqrt{3}}{3} ]

3. ( h(x) = \frac{3x + 4}{x - 3}, \text{ и нужно найти } h(4) )

Шаг 1: Найдем производную ( h(x) )

Эта функция является дробной, поэтому применим правило Лейбница для производной частного:

[ \frac{d}{dx} \left( \frac{u(x)}{v(x)} \right) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{(v(x))^2} ]

Здесь:

• ( u(x) = 3x + 4 ), тогда ( u'(x) = 3 )
• ( v(x) = x - 3 ), тогда ( v'(x) = 1 )

Подставляем в формулу: [ h'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{(v(x))^2} = \frac{3(x - 3) - (3x + 4)(1)}{(x - 3)^2} ]

Упростим числитель: [ 3(x - 3) - (3x + 4) = 3x - 9 - 3x - 4 = -13 ]

Итак: [ h'(x) = \frac{-13}{(x - 3)^2} ]

Шаг 2: Вычислим ( h(4) )

Подставим ( x = 4 ) в исходную функцию ( h(x) = \frac{3x + 4}{x - 3} ):

[ h(4) = \frac{3(4) + 4}{4 - 3} = \frac{12 + 4}{1} = \frac{16}{1} = 16 ]

Ответ для ( h(4) ): [ h(4) = 16 ]

Итоговые ответы:

1. ( p'(x) = -\frac{4}{x^3} )
2. ( g(-\frac{2\pi}{3}) = -\frac{4\sqrt{3}}{3} )
3. ( h(4) = 16 )

Давайте по порядку решим ваши задачи.

1. Найдите производную функции ( p(x) = \frac{2}{x^2} - 10 ).

Для нахождения производной функции ( p(x) ), сначала перепишем ее в более удобной форме:

[ p(x) = 2x^{-2} - 10 ]

Теперь применим правило дифференцирования степенной функции. Производная функции ( x^n ) равна ( n x^{n-1} ):

[ p'(x) = -4x^{-3} - 0 = -\frac{4}{x^3} ]

Таким образом, производная функции ( p(x) ) равна:

[ p'(x) = -\frac{4}{x^3} ]

2. Найдите производную функции ( g(x) = 4 \cot x ) и вычислите ( g\left(-\frac{2\pi}{3}\right) ).

Для нахождения производной функции ( g(x) ) воспользуемся правилом дифференцирования произведения и производной котангенса:

[ \frac{d}{dx}(\cot x) = -\csc^2 x ]

Тогда производная ( g(x) ):

[ g'(x) = 4 \cdot (-\csc^2 x) = -4 \csc^2 x ]

Теперь вычислим ( g\left(-\frac{2\pi}{3}\right) ):

[ g\left(-\frac{2\pi}{3}\right) = 4 \cot\left(-\frac{2\pi}{3}\right) ]

Зная, что ( \cot(-x) = -\cot(x) ) и ( \cot\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\sqrt{3} ), получаем:

[ g\left(-\frac{2\pi}{3}\right) = 4 \cdot \left(-\left(-\sqrt{3}\right)\right) = 4\sqrt{3} ]

Таким образом, ( g\left(-\frac{2\pi}{3}\right) = 4\sqrt{3} ).

3. Найдите производную функции ( h(x) = \frac{3x + 4}{x - 3} ) и вычислите ( h(4) ).

Для нахождения производной функции ( h(x) ) используем правило дифференцирования дроби:

[ \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right) = \frac{u'v - uv'}{v^2} ]

где ( u = 3x + 4 ), ( v = x - 3 ).

Теперь найдем производные ( u' ) и ( v' ):

[ u' = 3, \quad v' = 1 ]

Теперь подставим в формулу:

[ h'(x) = \frac{3(x - 3) - (3x + 4) \cdot 1}{(x - 3)^2} ]

Упрощаем числитель:

[ = \frac{3x - 9 - 3x - 4}{(x - 3)^2} = \frac{-13}{(x - 3)^2} ]

Таким образом, производная функции ( h(x) ) равна:

[ h'(x) = \frac{-13}{(x - 3)^2} ]

Теперь вычислим ( h(4) ):

[ h(4) = \frac{3 \cdot 4 + 4}{4 - 3} = \frac{12 + 4}{1} = 16 ]

Итак, конечные ответы:

1. ( p'(x) = -\frac{4}{x^3} )
2. ( g\left(-\frac{2\pi}{3}\right) = 4\sqrt{3} )
3. ( h(4) = 16 )