Найдите производную функции: а) x^5+2x; б) 12x^6-45; в) 2/x^2-x; г) 32√x

а) Для функции f(x) = x^5 + 2x производная будет f'(x) = 5x^4 + 2. б) Для функции f(x) = 12x^6 - 45 производная будет f'(x) = 72x^5. в) Для функции f(x) = 2/x^2 - x производная будет f'(x) = -4/x^3 - 1. г) Для функции f(x) = 32√x производная будет f'(x) = 16/x^(1/2).

В данном ответе мы найдем производные для четырех различных функций. Для нахождения производных мы будем использовать базовые правила дифференцирования, включая правило степени, произведения, частного и константы.

а) Функция: ( f(x) = x^5 + 2x ) Для каждого слагаемого применим правило степени (производная от ( x^n ) равна ( nx^{n-1} )) и правило производной константы (константа перед ( x ) просто умножается на производную ( x ), которая равна 1).

[ f'(x) = (x^5)' + (2x)' = 5x^{5-1} + 2 \cdot 1 = 5x^4 + 2. ]

б) Функция: ( f(x) = 12x^6 - 45 ) Здесь также используем правило степени для ( x^6 ) и учтем, что производная константы (45) равна нулю.

[ f'(x) = (12x^6)' - (45)' = 12 \cdot 6x^{6-1} - 0 = 72x^5. ]

в) Функция: ( f(x) = \frac{2}{x^2} - x ) Производная частного ( \frac{2}{x^2} ) может быть найдена как производная от ( 2x^{-2} ) (используя правило степени), а производная от ( x ) просто равна 1.

[ f'(x) = (2x^{-2})' - (x)' = 2 \cdot (-2)x^{-2-1} - 1 = -4x^{-3} - 1 = -\frac{4}{x^3} - 1. ]

г) Функция: ( f(x) = 32\sqrt{x} ) Производная квадратного корня, ( \sqrt{x} ), которая равна ( x^{1/2} ), находится по правилу степени.

[ f'(x) = (32x^{1/2})' = 32 \cdot \frac{1}{2}x^{1/2-1} = 16x^{-1/2} = \frac{16}{\sqrt{x}}. ]

Таким образом, производные данных функций следующие: а) ( 5x^4 + 2 ) б) ( 72x^5 ) в) ( -\frac{4}{x^3} - 1 ) г) ( \frac{16}{\sqrt{x}} )