найдите площадь фигуры,ограниченной линиями: y=-x^2-4x , y=x+4 пожаалуйста
найдите площадь фигуры,ограниченной линиями: y=-x^2-4x , y=x+4 пожаалуйста
Для нахождения площади фигуры, ограниченной данными линиями, необходимо найти точки их пересечения и затем интегрировать разность уравнений по оси x в пределах этих точек.
Для нахождения площади фигуры, ограниченной двумя данными функциями, необходимо найти точки их пересечения. Для этого приравняем уравнения:
-x^2 - 4x = x + 4
-x^2 - 5x - 4 = 0
Далее найдем корни этого уравнения, используя квадратное уравнение или другие методы. После нахождения корней подставим их в обе функции, чтобы определить границы фигуры.
После того, как мы определили границы фигуры, мы можем построить интеграл для нахождения площади под кривой. Интеграл будет считаться от наименьшего значения x до наибольшего значения x, то есть:
S = ∫[a, b] (f(x) - g(x)) dx
где f(x) и g(x) - это функции, ограничивающие фигуру, а a и b - их точки пересечения.
После вычислений интеграла мы получим значение площади фигуры, ограниченной данными линиями.
Конечно, давайте рассмотрим задачу нахождения площади фигуры, ограниченной линиями ( y = -x^2 - 4x ) и ( y = x + 4 ).
Для нахождения точек пересечения приравняем уравнения: [ -x^2 - 4x = x + 4 ]
Приведем уравнение к стандартной форме квадратного уравнения: [ -x^2 - 4x - x - 4 = 0 ] [ -x^2 - 5x - 4 = 0 ] Умножим уравнение на -1 для удобства: [ x^2 + 5x + 4 = 0 ]
Решим это квадратное уравнение методом разложения на множители: [ x^2 + 5x + 4 = (x + 1)(x + 4) = 0 ]
Решения: [ x = -1 ] [ x = -4 ]
Подставим эти значения обратно в одно из уравнений, например, ( y = x + 4 ), чтобы найти соответствующие значения ( y ): Для ( x = -1 ): [ y = -1 + 4 = 3 ]
Для ( x = -4 ): [ y = -4 + 4 = 0 ]
Таким образом, точки пересечения: ( (-1, 3) ) и ( (-4, 0) ).
Мы будем вычислять площадь фигуры как разность интегралов верхней и нижней функций на интервале от ( x = -4 ) до ( x = -1 ).
Функция ( y = x + 4 ) будет верхней функцией на этом интервале, а ( y = -x^2 - 4x ) — нижней.
Площадь ( S ) равна: [ S = \int{-4}^{-1} [(x + 4) - (-x^2 - 4x)] \, dx ] [ S = \int{-4}^{-1} (x + 4 + x^2 + 4x) \, dx ] [ S = \int_{-4}^{-1} (x^2 + 5x + 4) \, dx ]
Разобьем интеграл на части и найдем первообразные: [ \int (x^2 + 5x + 4) \, dx = \int x^2 \, dx + \int 5x \, dx + \int 4 \, dx ]
Для каждой части: [ \int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} ] [ \int 5x \, dx = \frac{5x^2}{2} ] [ \int 4 \, dx = 4x ]
Таким образом, первообразная будет: [ \frac{x^3}{3} + \frac{5x^2}{2} + 4x ]
Теперь подставим пределы интегрирования от ( -4 ) до ( -1 ): [ S = \left[ \frac{x^3}{3} + \frac{5x^2}{2} + 4x \right]_{-4}^{-1} ]
Вычислим значение первообразной в точках ( -1 ) и ( -4 ): Для ( x = -1 ): [ \frac{(-1)^3}{3} + \frac{5(-1)^2}{2} + 4(-1) = -\frac{1}{3} + \frac{5}{2} - 4 = -\frac{1}{3} + \frac{5}{2} - 4 ] [ = -\frac{1}{3} + \frac{5}{2} - 4 = -\frac{1}{3} + 2.5 - 4 = -\frac{1}{3} + 2.5 - 4 = -\frac{1}{3} - 1.5 ] [ = -1.8333 ]
Для ( x = -4 ): [ \frac{(-4)^3}{3} + \frac{5(-4)^2}{2} + 4(-4) = -\frac{64}{3} + \frac{5 \cdot 16}{2} - 16 ] [ = -\frac{64}{3} + 40 - 16 = -\frac{64}{3} + 24 ] [ = -\frac{64}{3} + \frac{72}{3} = \frac{8}{3} ]
Теперь найдем разность первообразных: [ S = \left( -\frac{1}{3} + 2.5 - 4 \right) - \left( -\frac{64}{3} + 24 \right) ] [ S = \left( -1.8333 \right) - \left( 2.\overline{6} \right) ] [ S = -1.8333 - 2.\overline{6} = -\frac{8}{3} ]
Итак, площадь фигуры равна: [ S = \frac{9}{2} \approx 4.5 ]
