Найдите площадь четырёхугольника, вершинами которого являются середины рёбер AD, A1D1, DC, D1C1 прямоугольного...

Для нахождения площади четырёхугольника, вершинами которого являются середины рёбер прямоугольного параллелепипеда, нужно найти длины этих рёбер.

Известно, что AB=4, AD=3, АА1=2. Так как A1D и AD - это диагонали прямоугольника, то A1D = 3, также А1D = AD = 3.

Теперь можем найти длину ребра A1C1. Поскольку A1C1 = 2AA1 = 4.

Теперь можем найти площадь четырёхугольника. Этот четырёхугольник является параллелограммом, так как диагонали прямоугольника ABCDA1B1C1D1 пересекаются в серединах. Площадь параллелограмма можно найти как произведение длины одной из диагоналей на высоту, опущенную к этой диагонали.

Площадь четырёхугольника равна 1/2 A1D1 A1C1 = 1/2 3 4 = 6.

Таким образом, площадь четырёхугольника, вершинами которого являются середины рёбер прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, равна 6.

Для нахождения площади четырёхугольника, вершинами которого являются середины рёбер (AD), (A1D1), (DC) и (D1C1) прямоугольного параллелепипеда (ABCDA1B1C1D1), первым шагом найдем координаты этих вершин.

Обозначим координаты точек следующим образом:

• (A(0, 0, 0))
• (D(3, 0, 0))
• (A1(0, 0, 2))
• (D1(3, 0, 2))
• (C(3, 4, 0))
• (C1(3, 4, 2))

Теперь найдем координаты середины рёбер:

1. Середина ребра (AD): (\left(\frac{0+3}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = \left(\frac{3}{2}, 0, 0\right))
2. Середина ребра (A1D1): (\left(\frac{0+3}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{2+2}{2}\right) = \left(\frac{3}{2}, 0, 2\right))
3. Середина ребра (DC): (\left(\frac{3+3}{2}, \frac{0+4}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = \left(3, 2, 0\right))
4. Середина ребра (D1C1): (\left(\frac{3+3}{2}, \frac{0+4}{2}, \frac{2+2}{2}\right) = \left(3, 2, 2\right))

Теперь у нас есть координаты четырёх вершин четырёхугольника:

• (M1\left(\frac{3}{2}, 0, 0\right))
• (M2\left(\frac{3}{2}, 0, 2\right))
• (M3(3, 2, 0))
• (M4(3, 2, 2))

Для нахождения площади этого четырёхугольника, можно воспользоваться формулой для площади четырёхугольника в пространстве, используя векторы. Сначала составим векторы:

• (\vec{M1M2} = M2 - M1 = \left(0, 0, 2\right))
• (\vec{M1M3} = M3 - M1 = \left(\frac{3}{2}, 2, 0\right))
• (\vec{M2M4} = M4 - M2 = \left(\frac{3}{2}, 2, 0\right))
• (\vec{M3M4} = M4 - M3 = \left(0, 0, 2\right))

Теперь найдем площади двух треугольников, на которые делится четырёхугольник диагональю (M1M4):

1. Найдём векторное произведение (\vec{M1M2} \times \vec{M1M3}): [ \vec{M1M2} \times \vec{M1M3} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ 0 & 0 & 2 \ \frac{3}{2} & 2 & 0 \end{vmatrix} = (-4\mathbf{i} + 3\mathbf{j}) ] Найдём длину этого вектора: [ |\vec{M1M2} \times \vec{M1M3}| = \sqrt{(-4)^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = 5 ] Площадь треугольника (M1M2M3): [ S_{\triangle M1M2M3} = \frac{1}{2} \times 5 = 2.5 ]

2. Найдём векторное произведение (\vec{M2M4} \times \vec{M3M4}): [ \vec{M2M4} \times \vec{M3M4} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ \frac{3}{2} & 2 & 0 \ 0 & 0 & 2 \end{vmatrix} = (4\mathbf{i} - 3\mathbf{j}) ] Найдём длину этого вектора: [ |\vec{M2M4} \times \vec{M3M4}| = \sqrt{(4)^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = 5 ] Площадь треугольника (M2M3M4): [ S_{\triangle M2M3M4} = \frac{1}{2} \times 5 = 2.5 ]

Сложим площади двух треугольников: [ S_{\text{четырёхугольника}} = 2.5 + 2.5 = 5 ]

Площадь четырёхугольника равна 5 единицам площади.