Найдите область определения y= корень из x^2+4x-12

Чтобы найти область определения функции ( y = \sqrt{x^2 + 4x - 12} ), нужно определить, при каких значениях ( x ) выражение под корнем ( x^2 + 4x - 12 ) является неотрицательным, поскольку квадратный корень определён только для неотрицательных чисел.

Рассмотрим неравенство: [ x^2 + 4x - 12 \geq 0. ]

Для решения этого неравенства сначала найдём корни соответствующего уравнения: [ x^2 + 4x - 12 = 0. ]

Используем дискриминант для решения квадратного уравнения: [ D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 16 + 48 = 64. ]

Корни уравнения: [ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 \pm \sqrt{64}}{2} = \frac{-4 \pm 8}{2}. ]

Это даёт нам корни: [ x_1 = \frac{-4 + 8}{2} = 2, ] [ x_2 = \frac{-4 - 8}{2} = -6. ]

Теперь у нас есть корни ( x = 2 ) и ( x = -6 ). Эти корни делят числовую ось на три интервала: ( (-\infty, -6) ), ( [-6, 2] ), ( (2, \infty) ).

Проверим знак выражения ( x^2 + 4x - 12 ) на каждом из этих интервалов. Можно использовать метод тестовых точек или проанализировать знаки коэффициентов:

1. Интервал ( (-\infty, -6) ): Выбираем тестовую точку, например, ( x = -7 ): [ (-7)^2 + 4(-7) - 12 = 49 - 28 - 12 = 9 > 0. ] На этом интервале выражение положительно.

2. Интервал ( (-6, 2) ): Выбираем тестовую точку, например, ( x = 0 ): [ 0^2 + 4(0) - 12 = -12 < 0. ] На этом интервале выражение отрицательно.

3. Интервал ( (2, \infty) ): Выбираем тестовую точку, например, ( x = 3 ): [ 3^2 + 4(3) - 12 = 9 + 12 - 12 = 9 > 0. ] На этом интервале выражение положительно.

Теперь учтём, что в точках ( x = -6 ) и ( x = 2 ) выражение равно нулю, поэтому эти точки включаются в область определения.

Таким образом, область определения функции ( y = \sqrt{x^2 + 4x - 12} ) является объединением интервалов: [ x \in (-\infty, -6] \cup [2, \infty). ]

Для того чтобы найти область определения функции y = √(x^2 + 4x - 12), необходимо учитывать, что под корнем не может быть отрицательное число, так как корень из отрицательного числа не существует в области действительных чисел. Таким образом, необходимо найти значения x, при которых выражение x^2 + 4x - 12 неотрицательно. Для этого решим неравенство x^2 + 4x - 12 ≥ 0. Сначала найдем корни уравнения x^2 + 4x - 12 = 0: D = 4^2 - 41(-12) = 16 + 48 = 64 x1,2 = (-4 ± √64)/2 = (-4 ± 8)/2 x1 = 2, x2 = -6. Теперь построим знаки функции x^2 + 4x - 12 на числовой прямой:

      -∞ ------------------(-6)------------------(2)----------------- +∞

f(x) | - | + | - | Таким образом, область определения функции y = √(x^2 + 4x - 12) будет x ∈ (-∞, -6] ∪ [2, +∞).