Найдите наибольшее значений функции y=(x^2+9)/x на отрезке [-11;-1]

Наибольшее значение функции y=(x^2+9)/x на отрезке [-11;-1] равно -1.

Чтобы найти наибольшее значение функции ( y = \frac{x^2 + 9}{x} ) на отрезке ([-11; -1]), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Запись функции: [ y = \frac{x^2 + 9}{x} = x + \frac{9}{x} ]

2. Нахождение производной: Для нахождения экстремумов функции найдем её первую производную: [ y' = \left( x + \frac{9}{x} \right)' ] Применяя правила дифференцирования, получаем: [ y' = 1 - \frac{9}{x^2} ]

3. Нахождение критических точек: Найдем точки, в которых производная равна нулю: [ 1 - \frac{9}{x^2} = 0 ] Решим данное уравнение: [ 1 = \frac{9}{x^2} \implies x^2 = 9 \implies x = \pm 3 ] Поскольку нас интересуют только значения (x) на отрезке ([-11; -1]), то ( x = 3 ) не подходит, а ( x = -3 ) входит в наш интервал.

4. Исследование на границах отрезка и в критической точке: Нам нужно вычислить значения функции в точках (-11), (-1) и (-3):

   Для ( x = -11 ): [ y(-11) = \frac{(-11)^2 + 9}{-11} = \frac{121 + 9}{-11} = \frac{130}{-11} \approx -11.82 ]

   Для ( x = -1 ): [ y(-1) = \frac{(-1)^2 + 9}{-1} = \frac{1 + 9}{-1} = \frac{10}{-1} = -10 ]

   Для ( x = -3 ): [ y(-3) = \frac{(-3)^2 + 9}{-3} = \frac{9 + 9}{-3} = \frac{18}{-3} = -6 ]

5. Выбор наибольшего значения: Сравниваем найденные значения:

   • ( y(-11) \approx -11.82 )
   • ( y(-1) = -10 )
   • ( y(-3) = -6 )

Наибольшее значение функции на отрезке ([-11; -1]) равно (-6) и достигается в точке ( x = -3 ).

Таким образом, наибольшее значение функции ( y = \frac{x^2 + 9}{x} ) на отрезке ([-11; -1]) равно (-6).

Для нахождения наибольшего значения функции y=(x^2+9)/x на отрезке [-11;-1] необходимо вычислить значение функции в крайних точках этого отрезка и в точках экстремума.

1. Вычислим значение функции в начальной точке отрезка x=-11: y=(-11^2+9)/(-11) = (121+9)/(-11) = 130/(-11) = -11.8181

2. Вычислим значение функции в конечной точке отрезка x=-1: y=(-1^2+9)/(-1) = (1+9)/(-1) = 10/(-1) = -10

3. Найдем точку экстремума, для этого найдем производную функции и приравняем ее к нулю: y=(x^2+9)/x y=(x+9)/x y'=(x1-(x+9)1)/(x^2) = (x-x-9)/(x^2) = -9/(x^2) -9/(x^2) = 0 x = 0

Точка x=0 не попадает в заданный отрезок [-11;-1], но мы можем использовать ее для дальнейших вычислений. Подставим x=0 в исходную функцию: y=(0^2+9)/0 = 9/0 = ∞

Таким образом, наибольшее значение функции y=(x^2+9)/x на отрезке [-11;-1] равно бесконечности (∞), и достигается в точке x=0, которая не входит в указанный отрезок.