Найдите критические точки функции f(x)=х^2-3x/x-4

Для нахождения критических точек функции f(x) = x^2 - 3x / (x - 4) нужно найти производную функции и приравнять её к нулю, чтобы найти значения x, где производная равна нулю.

Чтобы найти критические точки функции ( f(x) = \frac{x^2 - 3x}{x - 4} ), необходимо выполнить несколько шагов, включая нахождение производной функции и определение точек, в которых производная равна нулю или не существует.

Шаг 1: Найдите производную функции

Функция ( f(x) = \frac{x^2 - 3x}{x - 4} ) является дробно-рациональной, поэтому для нахождения производной используем правило дифференцирования частного:

[ f'(x) = \frac{(u/v)' = (u'v - uv')}{v^2} ]

где ( u = x^2 - 3x ) и ( v = x - 4 ).

Вычислим ( u' ) и ( v' ):

[ u' = \frac{d}{dx}(x^2 - 3x) = 2x - 3 ] [ v' = \frac{d}{dx}(x - 4) = 1 ]

Подставляем в формулу производной:

[ f'(x) = \frac{(2x - 3)(x - 4) - (x^2 - 3x)(1)}{(x - 4)^2} ]

Теперь упростим числитель:

[ = (2x - 3)(x - 4) - (x^2 - 3x) ] [ = (2x^2 - 8x - 3x + 12) - (x^2 - 3x) ] [ = 2x^2 - 11x + 12 - x^2 + 3x ] [ = x^2 - 8x + 12 ]

Таким образом, производная равна:

[ f'(x) = \frac{x^2 - 8x + 12}{(x - 4)^2} ]

Шаг 2: Найдите критические точки

Критические точки возникают, когда ( f'(x) = 0 ) или когда производная не существует.

1. ( f'(x) = 0 ):

[ \frac{x^2 - 8x + 12}{(x - 4)^2} = 0 ]

Числитель должен быть равен нулю:

[ x^2 - 8x + 12 = 0 ]

Решим это квадратное уравнение:

[ x = \frac{8 \pm \sqrt{(-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1} ] [ x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2} ] [ x = \frac{8 \pm \sqrt{16}}{2} ] [ x = \frac{8 \pm 4}{2} ]

Это дает корни:

[ x = 6 \quad \text{и} \quad x = 2 ]

1. ( f'(x) ) не существует, когда знаменатель равен нулю:

[ (x - 4)^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 4 ]

Шаг 3: Итог

Критические точки функции ( f(x) ) находятся в ( x = 2 ), ( x = 6 ), и ( x = 4 ). Однако, стоит отметить, что в точке ( x = 4 ) функция ( f(x) ) не определена, поскольку в исходной функции знаменатель равен нулю. Таким образом, ( x = 4 ) является точкой разрыва, а не критической точкой в традиционном смысле.

Итак, критические точки функции ( f(x) = \frac{x^2 - 3x}{x - 4} ) — это ( x = 2 ) и ( x = 6 ).

Для нахождения критических точек функции f(x) = x^2 - 3x / (x - 4) необходимо сначала найти производную этой функции. Для этого используем правило дифференцирования функции вида u(x) / v(x), где u(x) и v(x) - функции, производные которых мы знаем.

f(x) = x^2 - 3x / (x - 4)

f'(x) = (2x - 3(x - 4) - (x^2 - 3x)) / (x - 4)^2 f'(x) = (2x - 3x + 12 - x^2 + 3x) / (x - 4)^2 f'(x) = (12 - x^2) / (x - 4)^2

Теперь найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

(12 - x^2) / (x - 4)^2 = 0

12 - x^2 = 0 x^2 = 12 x = ±√12 x = ±2√3

Таким образом, критическими точками функции f(x) = x^2 - 3x / (x - 4) являются x = 2√3 и x = -2√3.