Найдите функцию, обратную к функции y=2(x+6)^-1, указать её область определения и множество значений

Чтобы найти функцию, обратную к данной функции ( y = 2(x+6)^{-1} ), выполним следующие шаги:

1. Выразим ( x ) через ( y ): Исходная функция: ( y = \frac{2}{x+6} ). Сначала выразим ( x+6 ) через ( y ): [ x+6 = \frac{2}{y}. ] Теперь выразим ( x ): [ x = \frac{2}{y} - 6. ]

2. Запишем обратную функцию: Обратная функция к ( y = \frac{2}{x+6} ) будет [ y = f^{-1}(x) = \frac{2}{x} - 6. ]

3. Определим область определения исходной функции: Исходная функция ( y = \frac{2}{x+6} ) определена для всех ( x ), кроме ( x = -6 ), так как в этом случае знаменатель обращается в ноль. Таким образом, область определения исходной функции ( y ) есть ( \mathbb{R} \setminus {-6} ).

4. Определим множество значений исходной функции: Поскольку ( y = \frac{2}{x+6} ) может принять любое ненулевое значение, когда ( x ) бесконечно приближается к (-6) справа или слева, множество значений исходной функции есть ( \mathbb{R} \setminus {0} ).

5. Определим область определения обратной функции: Обратная функция ( f^{-1}(x) = \frac{2}{x} - 6 ) определена для всех ( x ), кроме ( x = 0 ), так как в этом случае знаменатель обращается в ноль. Следовательно, область определения обратной функции ( f^{-1}(x) ) есть ( \mathbb{R} \setminus {0} ).

6. Определим множество значений обратной функции: Множество значений обратной функции совпадает с областью определения исходной функции, поскольку для каждого ( y ) из исходной функции существует соответствующий ( x ) в обратной функции. Таким образом, множество значений обратной функции есть ( \mathbb{R} \setminus {-6} ).

Итак, обратная функция к функции ( y = 2(x+6)^{-1} ) это ( f^{-1}(x) = \frac{2}{x} - 6 ) с областью определения ( \mathbb{R} \setminus {0} ) и множеством значений ( \mathbb{R} \setminus {-6} ).

Для нахождения обратной функции к функции y=2(x+6)^-1 необходимо сначала найти обратную функцию, обозначим её как x(y). Для этого перейдем от уравнения y=2(x+6)^-1 к уравнению x=2(y+6)^-1 и решим его относительно y:

x = 2(y+6)^-1 x = 2/(y+6) x(y+6) = 2 xy + 6x = 2 xy = 2 - 6x y = (2 - 6x)/x y = 2/x - 6

Таким образом, обратная функция к функции y=2(x+6)^-1 будет x(y) = 2/y - 6.

Областью определения этой обратной функции будет множество всех действительных чисел, кроме 0, так как при x=0 знаменатель в выражении 2/y станет равен нулю.

Множество значений обратной функции будет множество всех действительных чисел, кроме -6, так как при y=-6 знаменатель в выражении 2/y станет равен нулю.