На каждой клетке доски размером 7×7 сидит жук. По свистку каждый из жуков переползает в одну из соседних по диагонали клеток. При этом в некоторых клетках может оказаться больше одного жука, а некоторые клетки окажутся незанятыми. Какое минимальное число клеток точно окажутся незанятыми?
Для того чтобы найти минимальное число незанятых клеток, рассмотрим следующее:
Таким образом, минимальное число незанятых клеток на доске размером 7x7 будет равно 0. Все клетки будут заняты жуками после каждого переползания.
Для начала давайте рассмотрим структуру доски размером 7×7 и проанализируем движения жуков. Каждая клетка на этой доске имеет координаты ((i, j)), где (i) и (j) — это целые числа от 1 до 7.
Каждый жук может переползти в одну из четырех соседних по диагонали клеток:
Обозначим клетки доски двумя цветами, подобно шахматной доске, где клетки ((i, j)) такие, что (i + j) чётное, будем считать чёрными, а клетки ((i + j)) нечётное — белыми.
Заметим, что при любом из вышеуказанных движений жук переползает с чёрной клетки на белую или с белой на чёрную клетку. Таким образом, при свистке жуки, сидящие на чёрных клетках, переползают на белые клетки, и наоборот.
На доске 7×7 всего 49 клеток, из которых примерно половина (точнее, 24) — чёрные и 25 — белые, так как 7×7 даёт 49, а 49/2 = 24.5, округляем до целых чисел (24 чёрных и 25 белых).
При свистке:
Так как жуков на белых клетках больше, чем на чёрных, на новую позицию чёрных клеток может оказаться больше одного жука, потому что в процессе переползания некоторые клетки могут остаться занятыми несколькими жуками. Однако, на белых клетках будет точно свободно 25 клеток, так как всего 24 жука могут переползти на 25 клеток.
Таким образом, минимальное число клеток, которые точно окажутся незанятыми после свистка, равно разнице между числом белых клеток и числом чёрных клеток, то есть 1.
Ответ: минимальное число клеток, которые точно окажутся незанятыми, равно 1.
