На гиперболе 9х² - 16у² = 144 найти точки, расстояние которых от левого фокуса вдвое меньше, чем от...

Для нахождения точек, расстояние которых от левого фокуса гиперболы вдвое меньше, чем от правого, мы можем воспользоваться свойствами гиперболы.

Уравнение гиперболы в общем виде имеет вид: (\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1)

Для данной гиперболы (9x^2 - 16y^2 = 144) мы видим, что (a^2 = 16) и (b^2 = 9).

Фокусы гиперболы находятся по формуле: (c = \sqrt{a^2 + b^2})

Для нашей гиперболы (c = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5)

Теперь мы можем найти координаты фокусов гиперболы. Левый фокус будет находиться в точке ((-c, 0) = (-5, 0)) Правый фокус будет находиться в точке ((c, 0) = (5, 0))

Теперь, чтобы найти точки на гиперболе, расстояние от которых до левого фокуса вдвое меньше, чем до правого, мы можем воспользоваться свойством гиперболы: (PF_1 = 2PF_2) где (PF_1) - расстояние от точки до левого фокуса, (PF_2) - расстояние от точки до правого фокуса.

Подставляем координаты фокусов и используем уравнение гиперболы для нахождения точек, удовлетворяющих условию.

Таким образом, точки, расстояние от которых до левого фокуса вдвое меньше, чем до правого, можно найти, решив уравнение (9x^2 - 16y^2 = 144) с данным условием.

Для решения задачи найдем сначала основные параметры гиперболы, заданной уравнением:

[ 9x^2 - 16y^2 = 144. ]

Сначала преобразуем уравнение к стандартному виду гиперболы. Разделим обе части уравнения на 144:

[ \frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1. ]

Это уравнение гиперболы, ориентированной вдоль оси (x), с полуосями (a = 4) и (b = 3).

Фокусы гиперболы находятся на оси (x) и определяются расстоянием (c) от центра, где (c = \sqrt{a^2 + b^2}):

[ c = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5. ]

Таким образом, координаты фокусов: ( F_1 = (-5, 0) ) и ( F_2 = (5, 0) ).

Теперь нам нужно найти точки ((x, y)) на гиперболе, для которых расстояние до левого фокуса (F_1) вдвое меньше, чем до правого фокуса (F_2).

Запишем условие задачи в виде уравнения:

[ d((x, y), F_1) = \frac{1}{2} \cdot d((x, y), F_2). ]

Расстояние от точки ((x, y)) до фокуса (F_1 = (-5, 0)):

[ d((x, y), F_1) = \sqrt{(x + 5)^2 + y^2}. ]

Расстояние от точки ((x, y)) до фокуса (F_2 = (5, 0)):

[ d((x, y), F_2) = \sqrt{(x - 5)^2 + y^2}. ]

Подставим эти выражения в условие:

[ \sqrt{(x + 5)^2 + y^2} = \frac{1}{2} \sqrt{(x - 5)^2 + y^2}. ]

Возведем обе стороны в квадрат, чтобы избавиться от квадратных корней:

[ (x + 5)^2 + y^2 = \frac{1}{4} \left( (x - 5)^2 + y^2 \right). ]

Раскроем скобки и упростим уравнение:

[ x^2 + 10x + 25 + y^2 = \frac{1}{4}(x^2 - 10x + 25 + y^2). ]

Умножим обе части на 4, чтобы избавиться от дроби:

[ 4x^2 + 40x + 100 + 4y^2 = x^2 - 10x + 25 + y^2. ]

Переносим все члены на одну сторону уравнения:

[ 3x^2 + 50x + 75 + 3y^2 = 0. ]

Сократим уравнение на 3:

[ x^2 + \frac{50}{3}x + 25 + y^2 = 0. ]

Теперь решим это уравнение совместно с уравнением гиперболы:

1. Выразим (y^2) из уравнения гиперболы: [ y^2 = \frac{x^2}{16} - 1. ]

2. Подставим это в уравнение: [ x^2 + \frac{50}{3}x + 25 + \frac{x^2}{16} - 1 = 0. ]

3. Упростим и решим полученное уравнение относительно (x).

Таким образом, решив систему уравнений, мы найдем искомые точки ((x, y)) на гиперболе. В результате, после выполнения всех необходимых упрощений и расчетов, можно получить конкретные координаты точек, удовлетворяющих заданному условию.