На доске написаны 10 различных чисел. Вася подчеркнул каждое число, которое равно произведению всех остальных девяти чисел. Какое наибольшее количество чисел может быть подчёркнуто? а) 1 б) 2 в) 3 г) 9 д) 10
На доске написаны 10 различных чисел. Вася подчеркнул каждое число, которое равно произведению всех остальных девяти чисел. Какое наибольшее количество чисел может быть подчёркнуто? а) 1 б) 2 в) 3 г) 9 д) 10
б) 2
Рассмотрим задачу более подробно. Пусть на доске написаны десять различных чисел: ( a_1, a2, \ldots, a{10} ). Вася подчеркнул каждое число ( a_i ), которое равно произведению всех остальных девяти чисел.
Для числа ( a_i ) это условие можно записать как:
[ a_i = a_1 \times a2 \times \cdots \times a{i-1} \times a{i+1} \times \cdots \times a{10} ]
Мы можем переписать это уравнение следующим образом:
[ a_i^2 = a_1 \times a2 \times \cdots \times a{10} ]
Это означает, что ( a_i ) является квадратным корнем произведения всех десяти чисел. Таким образом, для каждого подчёркнутого числа ( a_i ), его квадрат должен быть равен произведению всех десяти чисел.
Теперь давайте попробуем понять, какое наибольшее количество чисел может быть подчёркнуто. Если два или более числа могут быть подчёркнуты, то каждое из них должно удовлетворять условию:
[ a_i^2 = a_1 \times a2 \times \cdots \times a{10} ]
и
[ a_j^2 = a_1 \times a2 \times \cdots \times a{10} ]
где ( i \neq j ). Это влечет за собой то, что:
[ a_i^2 = a_j^2 ]
что невозможно, поскольку числа должны быть различными. Следовательно, только одно число может быть равно произведению остальных девяти чисел.
Таким образом, ответ на вопрос: наибольшее количество чисел, которые могут быть подчёркнуты, равно 1. Это соответствует варианту а) 1.
Предположим, что Вася подчеркнул только одно число. Это означает, что оно должно быть равно произведению всех остальных девяти чисел. Но такое число не существует, так как произведение всех девяти чисел будет отличаться от любого конкретного числа на доске. Следовательно, Вася не может подчеркнуть только одно число. Попробуем подчеркнуть два числа. Пусть это будут a и b. Тогда a*b равно произведению оставшихся восьми чисел. Но даже в этом случае невозможно найти такие два числа на доске, которые были бы равны произведению всех остальных восьми. Таким образом, Вася не может подчеркнуть два числа. Из этого следует, что он также не может подчеркнуть три числа. Так как произведение трех чисел также не сможет быть равным произведению оставшихся семи. Итак, наибольшее количество чисел, которые может подчеркнуть Вася, равно 0. Правильный ответ: а) 1.
