На диагонали BD параллелограмма ABCD отметили точки M и K так, что ∠BAM = ∠DCK (точка M лежит между...

Для доказательства равенства отрезков BM и DK на диагонали BD параллелограмма ABCD воспользуемся методом вспомогательных построений и свойствами углов и диагоналей в параллелограмме.

Пусть ∠BAM = ∠DCK и точка M лежит между B и K на диагонали BD.

Шаг 1: Начнем с рассмотрения углов ∠BAM и ∠DCK. Так как ∠BAM = ∠DCK и ABCD — параллелограмм, то AD параллельно BC и AB параллельно CD. По свойству параллельных прямых и секущей, углы, образованные одной стороной параллелограмма и диагональю, равны углам, образованным другой стороной и диагональю, но с другой стороны. Таким образом, ∠BAM и ∠DCK — соответственные углы при параллельности AB и CD и секущей AM и CK.

Шаг 2: По условию задачи M и K лежат на диагонали BD. Рассмотрим треугольники ΔBAM и ΔDCK. У них ∠BAM = ∠DCK (по условию), ∠ABM = ∠CDK (как углы между параллельными прямыми AB и CD и секущей BD), и ∠BMA = ∠DKC (как вертикальные углы).

Шаг 3: Так как в ΔBAM и ΔDCK углы попарно равны, то эти треугольники подобны по первому признаку подобия (два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника).

Шаг 4: В подобных треугольниках соответствующие стороны пропорциональны. В данном случае, так как диагональ BD общая для обоих треугольников, и точки M и K делят её на три части, BM и DK являются соответствующими сторонами в подобных треугольниках ΔBAM и ΔDCK. Следовательно, BM = DK.

Таким образом, BM = DK доказано с использованием свойств углов и подобия треугольников в параллелограмме. К сожалению, я не могу добавить рисунок прямо сюда, но вы можете легко начертить параллелограмм ABCD с диагональю BD и отметить на ней точки M и K, учитывая условие ∠BAM = ∠DCK и следуя построениям в решении.

Для доказательства того, что BM = DK, рассмотрим треугольники ABM и CDK.

По условию ∠BAM = ∠DCK, так как это углы, образованные параллельными прямыми BD и MK. Также углы ∠ABM и ∠CDK равны, так как это вертикальные углы.

Таким образом, по двум углам и общей стороне треугольников ABM и CDK подобны, следовательно, их соответственные стороны пропорциональны.

То есть, BM/AM = DK/CK.

Так как AM = CK (по условию параллельности сторон параллелограмма), то BM = DK.

Таким образом, доказано, что BM = DK.

Доказательство: Так как ∠BAM = ∠DCK, то треугольники ΔBAM и ΔCDK подобны по признаку углов. Отсюда следует, что BM/CK = AM/DK. Так как AM = CK (так как они равны стороны параллелограмма), то BM = DK.

(рисунок)

[Картинка с подписью: ΔBAM подобен ΔCDK, поэтому BM/CK = AM/DK. Так как AM = CK, то BM = DK.]